运用基尔霍夫矩阵树定理计算图的生成树个数

运用基尔霍夫矩阵树定理计算图的生成树个数

基尔霍夫（Kirchhoff）矩阵树定理

• 给定一个有n个节点的简单图G，令它的拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）为Q，Q^*的行列式即为图G的生成树的个数。
• 若图G为多图，矩阵Q做如下修改：
  
  • 当i ≠ j，令q_i,j等于m (m为i节点和j节点之间边的数量)。
  • 当i = j，令q_i,j等于点i的度减去i的自环。

简单图：无重边无自环的无向图。
拉普拉斯矩阵：给定一个有n个节点的简单图G，它的拉普拉斯矩阵L_n*n定义为：

L=D−A

其中D为 度矩阵，A为 邻接矩阵。
度矩阵：给定图 G = (V,E)，G的度矩阵D定义为一个n*n的矩阵：

di,j={deg(vi)ifi=j 0otherwise

其中 deg(v_i) 为节点 v_i 边的数量。
邻接矩阵：对于一个有n个节点的简单图，它的邻接矩阵是这样一个n*n的矩阵：当节点i和节点j之间有边相连时，A_i,j 为1；否则为0。
多图：有自环，有重边的图。