HDU 6362 oval-and-rectangle（数学+期望）

Description

一个椭圆的长轴和短轴长度分别为 a,b a , b ， y y 等概率取 [0,b] [ 0 , b ] 中的任意值，求该椭圆内部过纵坐标为 y y 的点的内切矩形周长的期望

Input

第一行一整数 T T 表示用例组数，每组用例输入两个整数 a,b(0<b<a<105) a , b ( 0 < b < a < 10 5 )

Output

输出周长期望，结果取小数点前六位

Sample Input

1
2 1

Sample Output

8.283185

Solution

椭圆 x2a2+y2b2=1 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 上 y=c y = c 时横坐标绝对值即为 abb2−c2−−−−−−√ a b b 2 − c 2 ，那么该矩形周长即为 4(c+bab2−c2−−−−−−√) 4 ( c + b a b 2 − c 2 ) ，那么周长的期望即为 4b∫b0(c+bab2−c2−−−−−−√)dc=4b(c22+ab(c2b2−c2−−−−−−√+b22arcsin(cb)))|b0=πa+2b 4 b ∫ 0 b ( c + b a b 2 − c 2 ) d c = 4 b ( c 2 2 + a b ( c 2 b 2 − c 2 + b 2 2 a r c s i n ( c b ) ) ) | 0 b = π a + 2 b

Code

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI=acos(-1.0);
int main()
{
    int T,a,b;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        ll ans=(ll)(1000000.0*(PI*a+2.0*b));
        printf("%lld.%06d\n",ans/1000000,ans%1000000); 
    } 
    return 0;
}