codeforces 722E

题目大意

在一个 n∗m 的网格图中，你要从 (1,1) 走到 (n,m) ,每次只能向右或者向下。
其中有 k 个障碍点，一条路径每经过1个障碍分数就会从 s ,变成 ⌈s2⌉ .
你最开始的分数为 s ,问期望的分数，对1000000007取模。

解题思路

可知分数只有 logs 种。
那么我们只需求出每种>1的分数共有多少种走法即可。

我们先把障碍按 x 为第一关键字， y 为第二关键字排序。

令 fi 为第 i 个障碍直接走到 (n,m) 中间不经过其他障碍的方案数。

显然 fi=way(xi,yi,n,m)−∑kj=i+1way(xi,yi,xj,yj)∗fj

现在经过的障碍数不一定为0，怎么做？

我们设 gi,v 为 i 个障碍直接走到 (n,m) 中间经过 v 个其他障碍的方案数。

则 gi,0=fi .

对于 v>0 ，我们枚举中间经过的倒数第 v+1 个障碍是什么，容斥一下即可。
gi,v=way(xi,yi,n,m)−∑kj=i+1way(xi,yi,xj,yj)∗gj,v−∑v−1j=0gi,j

这样行了。

参考代码

#include 
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 100005
#define maxm 2005
#define mo 1000000007
#define ll long long
#define maxsq 22
using namespace std;

struct note{
    int x,y;
}a[maxm];

int n,m,tot,s;

ll p[2*maxn],q[2*maxn];

ll g[maxm][maxsq];

ll mul(ll x,ll y){
    ll ret=1;
    while (y) {
        if (y % 2==1) ret=ret*x % mo;
        x=x*x % mo;
        y /=2 ;
    }
    return ret;
}

bool cmp(note i,note j){
    return i.xx || i.x==j.x && i.yy;
}

ll C(ll x,ll y){
    if (x==y) return 1;
    if (y==0) return 1;
    if (x==0) return 0;
    return p[x]*q[y] % mo * q[x-y] % mo;
}

ll way(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2) {
    if (x2return 0;
    return C(x2-x1+y2-y1,x2-x1);
}

int main(){
    p[0]=q[0]=1;
    fo(i,1,200000) p[i]=p[i-1] * i % mo;
    q[200000]=mul(p[200000],mo-2);
    fd(i,199999,1) q[i]=q[i+1] * (i+1) % mo;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&tot,&s);
    fo(i,1,tot) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+tot+1,cmp);
    a[0].x=1;
    a[0].y=1;
    fd(i,tot,0) {
        fo(j,0,20) {
            g[i][j]=way(a[i].x,a[i].y,n,m);
            fo(k,i+1,tot) {
                g[i][j]=((g[i][j]-g[k][j]*way(a[i].x,a[i].y,a[k].x,a[k].y)) % mo+mo) % mo;
            }
            fo(k,0,j-1) g[i][j]=(g[i][j]-g[i][k]+mo) % mo;
        }
    }
    ll ans1=0,ans2=0,totw=0;
    int num=0;
    while (s!=1) {
        ans1=(ans1+s*g[0][num]) % mo;
        totw=(totw+g[0][num]) % mo;
        s=s / 2+(s % 2);
        num++;
    }
    ans2=way(1,1,n,m);
    totw=(ans2-totw+mo) % mo;
    ans1=(ans1+totw) % mo;
    ans2=mul(ans2,mo-2);
    ans1=(ans1*ans2) % mo;
    printf("%lld",ans1);
    return 0;
}