二：PCA 和 KPCA理解

前言

本文中的数据样本都是去中心化的，即可以理解为均值为0。

PCA

本例中是从二维降到一维

PCA的作用与要求

PCA是用于降维的一种方法，在降维后尽可能的保留样本最大的特征，即保证降维后方差最大化。
如下图例子所示所有样本，映射在蓝色的直线上（从二维降到一维），分布最广（用数学语言，就是映射在直线上的样本方差最大化）。

PCA中方差的表达

既然要求降维后方差要最大，首先我们得表示出降维后的方差表达，然后用最优化手段，将其最大化，即找出最优解。

第一步 映射后的样本坐标

上图中将第一幅图的其中一个样本，和那条降维后的线单独拿出来，进行剖析。
我们需要表达出样本xj在降维后的坐标，通过高中向量知识可以很容易得出红色向量的长度为||xj||*cosθ，方向为v/||v||。假设v是一个单位向量，式子可以化简为v,前面的内积用线性代数表示就是 = (xj)的转置乘上v，后面的v因为是单位正向量所以只是用于区分方向。
到这一步，我们可以表达出降维后的坐标了： vT(xj)（这是一个标量）
需要注意的是化简到这一步有一个条件那就是||v||=1。
得出下图：

第二步 得出方差表达式

既然有了坐标，我们就可以表达出样本方差并化简成：

最优化问题：求方差最大值时的v

得到了方差后，就需要求出 在条件 ||v|| = 1 下 （此条件等价于 vT * v = 1），方差最大。所以引入拉格朗日乘子法：

变成解这个式子：

好巧不巧的是 ：因为我们是要求(vT)Cv的max 由上式可知 Cv = λv，所以就是求(vT)λv = (vT)vλ的最大值，更巧的是 (vT)v TM的 等于 1，所以上面就成了求(vT)vλ=λ的最大值。

其中C是样本的协方差矩阵，所以总结一下，PCA问题就转变为求C的最大特征值和其特征向量（单位化），最终对应降维的坐标则是:vT(xj)

PCA例子

以防不懂举个例子，比如我每个样本特征是二维的，一共三个样本:
X1=[1,2]T, X2=[3,4]T, X3=[5,6]T
C经过计算应该是[35 44 ，44 56] /2 肯定是2*2矩阵，降到一维 就取最大特针值对应的特征向量，在单位化。

如果说三维降到二维就取前两项大的大特针值对应的特征向量。[(v1)T [(v2)T] * xj 第一个是23 矩阵 第二个是31
算出来的就是二维了。

KPCA

KPCA，就是核方法处理后，在此基础上进行PCA降维。

处理核化后的C矩阵

上文提到PCA问题已经转为C的特征值特征向量（单位化）求取，然后再求降维后的坐标。而此时的C已经成为在核化后空间上的协方差矩阵：由 x -> Φ(x)。
因为核技巧中Φ是不用知道的，即它是未知的，导致了此时的C也未知。要解决这个问题，只能将有关Φ的部分用核函数KF代替，才能求解C的特征值，特征向量。

那么如何求取呢？在前面一篇文章中我们有过核矩阵K的推导即：

因为核函数是知道的所以K也是已知的，那么如何用K来求取C的特征值，特征向量呢？

因为 K已知 所以说K的特征值和特征向量也是可以求的（上图所示），我们将特征方程两边都左乘X的转置，就可以发现原来K的特征值λ就是C的特征值，K特征向量u（单位化后）左乘X的转置就是C的特征向量。但是又出现一个问题X不知道，因为X是关于Φ（x）的矩阵。

求解(XT)u

我们是需要将C的特征向量单位化的，也就是说我们要求的是(XT)u /||(XT)u||：

化简后就是上图那个东西。（中间第二步到第三部解释一下，上图中XXT = K ， ku = λu ，uTu = 1）
不过X依旧不知道，但是我们最终是要求出降维后的坐标，即vTΦ(x)：

通过上图就可以将降维后的坐标求导出来。

方法总结

总的来说KPAC分为这么几步：
1.选取合适的KF，将原始训练样本映射到另一维度（目的：这个维度更容易用线性方法分类）-----也就是核技巧
2.知道KF， 知道训练样本，可以求出K矩阵，并求出他的特征向量（单位化），特征值。
3.通过K的特征值，特征向量求出C的特征向量表达式。
4.你想降到几维，就选C前几大的特征值对应的特征向量，将训练样本一起带入上图的式子，得出降维后的坐标。