线段树

HH神的线段树出神入化，所以跟着HH学习线段树。

风格：

maxn是题目给的最大区间，而节点数要开4倍，确切的说……

lson和rson辨别表示结点的左孩子和右孩子。

PushUp(int rt)是把当前结点的信息更新到父节点

PushDown（int rt)是把当前结点的信息更新给孩子结点。

rt表示当前子树的根（root），也就是当前所在的结点。

思想：

对于每个非叶节点所标示的结点 [a,b]，其做孩子表示的区间是[a,(a+b)/2]，其右孩子表示[(a+b)/2,b].

构造：

离散化和线段树：

题目：x轴上有若干个线段，求线段覆盖的总长度。

普通解法：设置坐标范围[min,max],初始化为0，然后每一段分别染色为1，最后统计1的个数，适用于线段数目少，区间范围小。

离散化的解法：离散化就是一一映射的关系，即将一个大坐标和小坐标进行一一映射，适用于线段数目少，区间范围大。

例如：[10000,22000],[30300,55000],[44000,60000],[55000,60000].

第一步：排序 10000 22000 30300 44000 55000 60000

第二部：编号 1        2        3         4       5         6

第三部：用编号来代替原数，即小数代大数 。

[10000,22000]~[1,2]

[30300,55000]~[3,5]

[44000,60000]~[4,6]

[55000,60000]~[5,6]

然后再用小数进行普通解法的步骤，最后代换回去。

线段树的解法：线段树通过建立线段，将原来染色O(n)的复杂度减小到 log（n），适用于线段数目多，区间范围小的情况。

离散化的线段树：适用于线段数目多，区间范围大的情况。

构造：

动态数据结构：

struct node{

 node* left;

 node* right;

……

}

静态全局数组模拟（完全二叉树）：

struct node{

  int left;

  int right;

……

}Tree[MAXN]

例如:

线段树与点树：

线段树的每一个结点表示一个点，成为点树，比如说用于求第k小数的线段树。

点树结构体：

struct node{

int l, r;

int c;//用于存放次结点的值，默认为0

}T[3*MAXN];

创建：

创建顺序为先序遍历，即先构造根节点，再构造左孩子，再构造右孩子。

void construct(int l, int r, int k){
    T[k].l = l;
    T[k].r = r;
    T[k].c = 0;
    if(l == r) return ;
    int m = (l + r) >> 1;
    construct(l, m, k << 1);
    construct(m + 1, r, (k << 1) + 1);
    return ;
}

void construct(int l, int r, int k){
    T[k].l = l;
    T[k].r = r;
    T[k].c = 0;
    if(l == r) return ;
    int m = (l + r) >> 1;
    construct(l, m, k << 1);
    construct(m + 1, r, (k << 1) + 1);
    return ;
}

 

[A,B,C]：A表示左值，B表示右值，C表示在静态数组中的位置，由此可知，n个点的话大约共有2*n个结点，因此开3*n的结构体一定是够的。

更新值：

void insert(int d, int k){
    //如果找到了就c值+1返回。
    if(T[k].l == T[k].r && d == T[k].l){
        T[k].c += 1;
        return ;
    }
    int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if(d <= m) insert(d, k << 1);
    else insert(d, (k << 1) + 1);
    //更新每一个c，向上更新
    T[k].c = T[k << 1].c + T[(k << 1) + 1].c;
}

void insert(int d, int k){
    //如果找到了就c值+1返回。
    if(T[k].l == T[k].r && d == T[k].l){
        T[k].c += 1;
        return ;
    }
    int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if(d <= m) insert(d, k << 1);
    else insert(d, (k << 1) + 1);
    //更新每一个c，向上更新
    T[k].c = T[k << 1].c + T[(k << 1) + 1].c;
}

查找值：

//k表示树根，d表示要查找的值
void search(int d, int k, int& ans)
{
    if(T[k].l == T[k].r){
        ans = T[k].l;
        ans = T[k].l;
    }
    int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    //不懂
    if(d > T[(k << 1)].c) search(d - T[k << 1].c, (k << 1) + 1, ans);
    else search(d, k << 1, ans);
}

//k表示树根，d表示要查找的值
void search(int d, int k, int& ans)
{
    if(T[k].l == T[k].r){
        ans = T[k].l;
        ans = T[k].l;
    }
    int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    //不懂
    if(d > T[(k << 1)].c) search(d - T[k << 1].c, (k << 1) + 1, ans);
    else search(d, k << 1, ans);
}

search函数的用法不太懂。

例题解：

（待更新）

四类题型：

1.单点更新   只更新叶子结点，然后把信息用PushUp(int r)这个函数更新上来。

hdu1166：敌兵布阵

线段树功能：update：单点替换 query：区间最值

poj2828

树状数组：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int maxn = 200000;

int C[maxn + 100];
int B[maxn + 100];
int n;
PII arr[maxn + 100];

int lowbit(int k) { return k & (-k); }

void init() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) C[i] = lowbit(i);
    memset(B, -1, n + 10);
}

void update(int i) {
    while(i <= n) {
        C[i]--;
        i += lowbit(i);
    }
}


int query(int i) {
    int ret = 0;
    while(i > 0) {
        ret += C[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ret;
}

void debug() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << i << " " << query(i) << endl;
}


void fun(int a, int v) {
    int l = 1, r = n;
    while(l < r) {
        int m = (l + r) >> 1;
        if(query(m) >= a) r = m;
        else l = m + 1;
    }
    //cout << "here  " << l << endl;
    update(l);
    //cout << "here2 " << endl;
    //debug();
    B[l] = v;
    //return l;
}




int main() {
    while(~scanf("%d", &n)) {
        init();
        int a, b;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            a++;
            arr[i].first = a;
            arr[i].second = b;
        }
        for(int i = n; i > 0; i--) fun(arr[i].first, arr[i].second);
        //debug2();
        //bool flag = false;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            i == 1 ? printf("%d", B[i]) : printf(" %d", B[i]);
            //if(B[i] != -1 && !flag) { printf("%d", B[i]); flag = true; }
            //else if(B[i] != -1) printf(" %d", B[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef pair PII;

const int maxn = 200000;

int C[maxn + 100];
int B[maxn + 100];
int n;
PII arr[maxn + 100];

int lowbit(int k) { return k & (-k); }

void init() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) C[i] = lowbit(i);
    memset(B, -1, n + 10);
}

void update(int i) {
    while(i <= n) {
        C[i]--;
        i += lowbit(i);
    }
}


int query(int i) {
    int ret = 0;
    while(i > 0) {
        ret += C[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ret;
}

void debug() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << i << " " << query(i) << endl;
}


void fun(int a, int v) {
    int l = 1, r = n;
    while(l < r) {
        int m = (l + r) >> 1;
        if(query(m) >= a) r = m;
        else l = m + 1;
    }
    //cout << "here  " << l << endl;
    update(l);
    //cout << "here2 " << endl;
    //debug();
    B[l] = v;
    //return l;
}




int main() {
    while(~scanf("%d", &n)) {
        init();
        int a, b;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            a++;
            arr[i].first = a;
            arr[i].second = b;
        }
        for(int i = n; i > 0; i--) fun(arr[i].first, arr[i].second);
        //debug2();
        //bool flag = false;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            i == 1 ? printf("%d", B[i]) : printf(" %d", B[i]);
            //if(B[i] != -1 && !flag) { printf("%d", B[i]); flag = true; }
            //else if(B[i] != -1) printf(" %d", B[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

poj-3468

#include
#include
#include
using namespace std;

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1

typedef long long LL;

const int maxn = 111111;

LL col[maxn<<2];
LL sum[maxn<<2];

void PushUp(LL rt) {
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}

//pushdown的作用是如果此点可以更新。
//也就是更新到下一层
//如果是底层，那么是不用pushdown的。
void PushDown(LL rt, LL m) {
    if(col[rt]) {
        //col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
        col[rt<<1] += col[rt];
        col[rt<<1|1] += col[rt];
        sum[rt<<1] += col[rt] * (m - (m>>1));
        sum[rt<<1|1] += col[rt] * (m>>1);
        col[rt] = 0;
    }
}

void build(LL l, LL r, LL rt) {
    col[rt] = 0;
    //cout << l << " " << r << endl;
    if(l == r) {
        scanf("%I64d", &sum[rt]);
        //cout << rt << " " << sum[rt] << endl;
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUp(rt);
}

LL query(LL L, LL R, LL l, LL r, LL rt) {
    LL ret = 0;
    if(L <= l && r <= R) {
        //if(col[rt]) return sum[rt] + (r - l + 1) * col[rt];
        return sum[rt];
    }
    PushDown(rt, r - l + 1);
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) ret += query(L, R, lson);
    if(R > m) ret += query(L, R, rson);
    return ret;
}

void update(LL L, LL R, LL c, LL l, LL r, LL rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        sum[rt] += c * (r - l + 1);
        col[rt] += c;//子节点没有更新
        return ;
    }
    PushDown(rt, r - l + 1);
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) update(L, R, c, lson);
    if(R > m) update(L, R, c, rson);
    PushUp(rt);
}

void debug(int n) {
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << col[i] << " ";
    }
    cout << endl << endl;
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << sum[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    LL N, Q;
    while(~scanf("%I64d%I64d", &N, &Q)) {
        //cout << "N = " << N << endl;
        memset(sum, 0, sizeof(sum));
        memset(col, 0, sizeof(col));
        build(1, N, 1);
        //debug(N);
        for(int i = 0; i < Q; i++) {
            char ch[3];
            LL a, b, c;
            scanf("%s", ch);
            if(ch[0] == 'Q') {
                scanf("%I64d%I64d", &a, &b);
                printf("%I64d\n", query(a, b, 1, N, 1));
            }
            else {
                scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c);
                update(a, b, c, 1, N, 1);
            }
            //debug(N);
        }
    }
    return 0;
}

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1

typedef long long LL;

const int maxn = 111111;

LL col[maxn<<2];
LL sum[maxn<<2];

void PushUp(LL rt) {
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}

//pushdown的作用是如果此点可以更新。
//也就是更新到下一层
//如果是底层，那么是不用pushdown的。
void PushDown(LL rt, LL m) {
    if(col[rt]) {
        //col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
        col[rt<<1] += col[rt];
        col[rt<<1|1] += col[rt];
        sum[rt<<1] += col[rt] * (m - (m>>1));
        sum[rt<<1|1] += col[rt] * (m>>1);
        col[rt] = 0;
    }
}

void build(LL l, LL r, LL rt) {
    col[rt] = 0;
    //cout << l << " " << r << endl;
    if(l == r) {
        scanf("%I64d", &sum[rt]);
        //cout << rt << " " << sum[rt] << endl;
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUp(rt);
}

LL query(LL L, LL R, LL l, LL r, LL rt) {
    LL ret = 0;
    if(L <= l && r <= R) {
        //if(col[rt]) return sum[rt] + (r - l + 1) * col[rt];
        return sum[rt];
    }
    PushDown(rt, r - l + 1);
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) ret += query(L, R, lson);
    if(R > m) ret += query(L, R, rson);
    return ret;
}

void update(LL L, LL R, LL c, LL l, LL r, LL rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        sum[rt] += c * (r - l + 1);
        col[rt] += c;//子节点没有更新
        return ;
    }
    PushDown(rt, r - l + 1);
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) update(L, R, c, lson);
    if(R > m) update(L, R, c, rson);
    PushUp(rt);
}

void debug(int n) {
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << col[i] << " ";
    }
    cout << endl << endl;
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
        cout << sum[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    LL N, Q;
    while(~scanf("%I64d%I64d", &N, &Q)) {
        //cout << "N = " << N << endl;
        memset(sum, 0, sizeof(sum));
        memset(col, 0, sizeof(col));
        build(1, N, 1);
        //debug(N);
        for(int i = 0; i < Q; i++) {
            char ch[3];
            LL a, b, c;
            scanf("%s", ch);
            if(ch[0] == 'Q') {
                scanf("%I64d%I64d", &a, &b);
                printf("%I64d\n", query(a, b, 1, N, 1));
            }
            else {
                scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c);
                update(a, b, c, 1, N, 1);
            }
            //debug(N);
        }
    }
    return 0;
}