数学系列 （二）自然数、分数、小数、算数、代数

从无到有

数的概念

       出生不久的孩子你觉的他认识1、2、3类似的数字吗？应该都不知道，可见数字的概念也是随着我们人类成长逐渐认识到的，英国经济学创立者亚当斯密说“数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念”，属于逻辑思维里面的认识，古代的游牧名族考打猎为生，当猎物多了就需要记住有多少食物还能吃多久，如一个羊、一个鸡等则抽象出来了1，两个羊、两个鸡则抽象出来了2等等，这样自然数字即出现了这个时候人可能达到的大数范围还很小，有的是拿身体各个部分来计数，有的部落可能只能达到10即用10个手指来计数，他们打的猎物还很少，能量少也同样限制了每个部落人口的发展，人口少了同样文明进步也就慢。

       有人和你说一个数字1，你能想到什么？一个鸡蛋、一个苹果电脑、一个手机等，像这样把一个一个电脑苹果和一颗一颗树联系起来就叫做一一对应，另一个本质性质是分割不变 如一堆鸡蛋无论你分为多少份，其总数仍然不变，这也是我们接触的集合的性质。

数词的发展

       数词在有了表示1、2、3类似这样的数字之后，人们并没有满足于当下，当时并不是1、2、3这样叫，而是以身体各个部分来代表不同的数字，比如头可能是1的意思，在打的猎物逐渐多了之后，10以下的数字就不能满足于那时的实际需求，聪明的祖先想到了把数字横着排起，如1 1 有时数字多了看着很不方便，人们又把它进一步缩减，采用二进制来计数，节约是数学的重要想法之一

       二进制在中国古代的《易经》基于阴阳两种对立事物，自然也与二进制有关，国外热心主张二进制的人，是伟大的哲学家数学家莱布尼兹，他认为1象征神，0象征虚无，是神和虚无创造了整个宇宙。

       在漫长的文明发展过程中，人们也曾用过手指计算器，这是在二进制之后，还出现过三进制、五进制、十进制、二十进制、十二进制、六十进制等，其中二进制、十进制、十六进制、六十进制使用最为广泛，
巴比伦王国据说是六十进制最早发明的国家，现在在时间和角度测量上仍然保留着，如60秒是1分、60分是1小时，上次看了看《自然哲学中的数学》静止和运动一节描述说静止和运动都是相对的，即使一年365天、12个月这些只是拿一个衡量标准来计算运动的物体
定位与0的祖先
       巴比伦王国和埃及是历史上最早的城市国家，埃及在实现十进制方便是先进的，巴比伦过创建了六十进制，重要的思想就是把尽量少的数字组合在一起表示尽可能大的数字，节约数字的想法逐渐发展，发明了0，诞生出来了用于计算的数字，成了今天人类共同的财富

       二进制相比十进制有它自己的优势，比如形式简单无论再大的整数都可以用01组合来表示，下面我们穿插一个小题：
有1000个瓶子，其中只有一个瓶子里有毒药。喝下毒药的老鼠会在24小时内死亡。问在24小时时间内，最少需要几只小白鼠，才能检验出哪个瓶子里的有毒药？(注:一只小白鼠可以尝试一瓶或者多瓶)？

离散量、连续量

俄国有一个故事说
有位老奶奶要给三个孙子分吃两个土豆，因为不好分割，就把土豆做成了汤，分给三个孙子喝，老奶奶把离散的土豆变为了连续的土豆汤，从而解决了难题

       在人类靠摘取果实和猎取野兽来维持生活的时候，果实和狩猎物品有限每天食不果腹，只数离散量就足够了，不会产生什么差错，后来随着农业和讯牧业发展，个人捕获了7只鹿，当需要把肉分成10等份的时候，就考虑到了分割连续量的时候，另外古物的量、田地面积等也需要连续量，可以说连续量也是人们生活中需要然后被创造出来的，每个小的文明进步都需要漫长的过程，

       开始人们并没有一下就创造出来像现在这样非常标准的刻度、尺子、量器等，人们只是用小木棍来不断衡量一个物体的长度，此木棍长度就成了单位长度，两个东南海北的物体想要比较大小、多少如何比较，直接比较不了的地方， 就产生了间接比较的需要，而产生了单位，单位的理解即一个固定长度或重量的大小，大家都知道心知肚明的，古代作为单位的物品还不少，例如典型的钱 、贝壳 、 金属等，它们需要具有耐保存、易携带等特性，一开始用一个单位小木棍来测量大多数情况不会正好测量完等于自然数个单位小棍，这样就遇到了把长棍这样连续量分割成离散量时产生了困难，就是零头的存在，于是乎有人想到了制作比单位小棍更小的单位，用此单位量剩下的零头，如果长了正相反，扩展变大单位长度，如米下面有分米、厘米。。上面有千米等，至于有多少单位受限于当时科学水平。

连续量的表示方法

       在表示连续量的各种方法中，笛卡儿他想出来了用直线的长度来表示所有的连续量，连续量除了长度外，还有重量、面积、体积、时间、密度、温度等可以说种类很多，这些全部用长度来表示，不能不说笛卡尔的想法非常优秀，如果我们一直在用的坐标系即笛卡尔坐标系的由来

       量器多半都是把连续量表示成长度的工具，如杆秤、钟表、温度计、速度计等，数学家把各式各样的连续量转换为长度，就是为了坐标图的出现做好了准备，速度图，想想是不是这么回事，就连时间我们人类都将它表示成了钟表走一圈一圈的长度，时间本是看不见摸不着虚无的东西，但可以拿钟表的一圈来衡量，问题简化、清晰、明了，任何科学的道理都是简单明了通俗易懂的。
       可以说笛卡尔坐标系的创造给人类解决问题带来了巨大的变化，我们中学时接触最多的我想也是笛卡尔坐标系

分数与小数

分数和小数是从连续量抽象出来的，它是连续量

小数和分数的意义？
       小数和分数是出现了离散量开始出现的，它是为了满足于各个方面的测量、计数，因为连续量也充满了我们的生活，如水、土地等，可以说分数和小数让我们活的更精细，科学生产也更有计划，科学是第一生产力，从这个角度出发那么从离散数发展小数理论的不是贵族而是工匠和商人

       在只有离散变量的时候，测量或计数没有剩余，都是自然数而增加了连续量之后呢，在比较大小测量等方便常常会有剩余，如果剩余了一小点，但又不知道剩余了多少，可以用它除以单位长度正好为其中以个10小份，那么为单位长度的1/10，也可以写成0.1倍，从这个地方你会想到什么？人类的智慧是在不断扩展、不断完善的，如果文明仅仅发展到这个程度，那么没有后来的负数概念，2-7这种运算也是没有结果的，就好像我们不太好理解虚数一样缥缈，不过文化的进步也不是直线前进的，而是走了很多弯路，不仅如此，有时走进胡同长时间出不来也有

分数的比较、加法、减法、乘法
       每一种规则的计算都是智慧的结晶，在分数出来后它的计算是否与以前自然数计算一致呢？这也许正困扰着当时的人们，现在如果问你分数如何运算你觉得非常简单，这么简单的的东西上小学的时候我记得也是做了无数个题之后在大脑里面打下了深深的烙印，刻上了应这样算、应该那样算，至于为什么一想即时说上这么说得，但没有想过这书是谁写的、谁第一个想象到的，在以前我还记得为什么乘可以减小、除为什么可以增大，当时也是不理解为什么，看见的多了就理所应该那样了

       想一想是不是乘分数、除分数都可以拆分成整数的两次甚至多次乘法或处罚运算，因为人们知道整数加减乘法，可以说是在已有的认知基础上扩展了分数的运算法则，数学也就以此为基础向前迈进了一步，这种例子还有很多再比如负数为什么是在正数的前面加了一个 ‘-’ 符号就表示负数了，也是利用了已有的整数规则，仅仅增加一个符号而已，人们不需要创造新的规则，这是继承也是创新。

       整数除以整数即分数，分数进行计算即化为小数，而化小数时可能没有余数的整除或有限个位数是有限小数，还有另一些除不尽的就是无限小数，无限小数里面继续分解为无限循环和无限非循环小数（无理数），可见这些数的概念都是在出现了分数后出现的，后来统称为正实数
有了这些数就能把全部的长度、全部的重量、全部的时间这些连续量，无遗漏的表现出来

为什么先乘除后加减？
       为什么先做乘除后做加减，因为先做乘除比作加减的场合要多，当然也有先加减的场合，后来使用了括号 有往一起堆的意思，

       分数和小数都是连续量，即分数乘以分数、小数乘以小数是连续量乘以连续量，所以必须从其意义来考虑，连续量彼此想乘除就会产生全新的量，基本的量时长度、时间、质量这种，由这三种量可推出来全部的量，像是色彩中的三种原色一样，由三种颜色可以产生各种各样的颜色，同样把这三种量用乘和除组合起来，就可以导出来全部的量，他们构成了数学、物理的基石。

数学与现实

数学这门学问就像高性能的喷气飞机那样，一边在世界上飞行，一边又瞭望着世界，但这种飞行并不是无休止的，它必须经常地回地面上来补给燃料，否则是不能继续飞行的

       数和语言之间有明显的相似性，利用正和负来说明正数和负数的差异就利用了语言的相似性这一点，
在数的世界中当然也需要反义词，正数和负数即正和负就是这样诞生的，可以说就是数的反义词

       《红与黑》的作者司汤达在中学时代语文学的好，所有写出来了一本书，据说他数学也不错，当时的小数学家人物，可见厉害的人从来都是不仅仅局限于一个领域，个人感觉还是爱好广泛，爱好是最好的老师，有兴趣自己会主动去研究和学习，

       负数的由来以及正负数的运算规则不是逻辑推理从其他规则推导出来的，它像分数乘法运算规则一样，是从无数实例中总结出来的，例如两个电荷，正和负可以相互吸引、

       古人从1根木棒、1个橘子等抽象出来1,2，等自然数的数列，在文学中类似玫瑰、荷花灯统称为花，像这样名词的诞生标志着语言前进了一大步，人类的抽象能力并没有停止，各种具体事务又可以抽象为那个、这个等代词，同理在学的语言里，也存在将1、2、3等数字以文字代表，如a
研究文字的算数或代名词的算数的学问，叫做代数学，牛顿把代数叫做普遍算数，当时他在书中描述 算术是一定的和特殊的，代数则是不定的和普遍的，代数学即代入特殊的数、特殊化的东西

代数“语言”

代数与代名词的算数
由具有加、减的算法改写成清一色的加法式子叫做代数和

       既然我们已经向语文等语言一样有了代数自己的语言表示方式，通常为a b c … 或 A B C …类似，这也只是相当于发明了汉字花呀、草呀的，至于如何取断句、如何取组合还需要文法规则，这里的文法即交换律、结合律、分配律等，它们是指导字词句各种变换各种表达方式的原则，就像主谓宾一样，我可不可以用双重否定来表示肯定呢也是可以的，如同我们的交换等变换。

鸡兔同笼
       你是否还记得这个题目，经常被拿出来作为一题多解的案例，我们也拿过来说一说，这个题也正好代表了时代的发展和方法的升级，开始的时候人们都是利用算数来心算、口算，给鸡补腿或让兔子抬起两只脚等，等到后来埃及文明大大发展，有人用梅花作为未知数经过几代更替，现在普遍使用笛卡尔儿发明的x作为未知数代表，据说是因为在罗马字母表中的x，在法语中也多用，因此印刷厂中x的活字也很多的原因，有了未知变量表示人们觉得就相当于量都已知了，于是根据数据列出来了等式即我们说得方程。

       在算数中是按由给定量求待求量的步骤去解算数问题，而代数则相反，即好像是已经知道了待求量似的，从待求量出发推求其与已知量的关系，按这种步骤来解决问题，列出方程，代数的好处是简单可以口算心算但是随着题难度的增大、未知数的数目变多心算有些吃力有时相当困难，如果一个、二个、三个未知量还好说，超过5个就难了，而方程处理这些问题似乎很简单，有多少未知数就设多少个变量来求解，数学没走一步都是曲折的，当时的方程停留在有限个未知数，因为人们表示未知数的文法也就是26个字母，个数毕竟有限，后来聪明的数学家经过苦思冥想提出了用字母下面加角标的方式代替未知数这样未知数的表示就从有限扩展到了无限，方程的作用就更大了，那么问题来了未知数太多的方程如何解呢？后面就是各种牛逼的人开始了探究。

矩阵加减
       由于在数学上这种长方形的表到处可见，因此就产生了矩阵这个名称，矩阵在英语中叫matrix

       无论矩阵还是向量都要使用很多数字，若用文字来代表的话，也要受限制，如拉丁字母表就只有26个字母表、不能使用26个以上的字母，为了克服这个困难，可以在文字下面加上数字标注，
若两个矩阵相加或想减，必须二者的行数和列数相同

       矩阵的作用并不仅仅在于排列这些元素，当考虑到矩阵的加减乘除运算时，就会了解其重要作用

联系方程和矩阵
       数学上新的形式或符号的出现，往往能给巨大的进步奠定基础
拉普拉斯说过，在数学上发明了优越的符号，就意味着胜利了一半，矩阵的符号就是显著的一例
因此联系方程写成AX=B,就可以把它当做我们已经掌握的ax=b那样来考虑了（利用已有的基础）

解
一次联系方程的根等于两个行列式的商，这个公式叫克莱默公式，对于n元联力同样成立

“监狱风云”中的经济学

       经济学习是用来分析市场规则的一门学问，身处在市场经济中每个人都有必要了解一下经济学，最近想看看发哥的经典电影先把英雄本色123看了一遍，紧接着开始看监狱风云其中正好在听薛兆丰的经济课有一集谈到战俘营，类似于监狱风云里面的情节，监狱里面受到很多限制难道也存在经济学规则吗？

       在里面犯人每天干活可以挣些工钱但是很少，发哥每次都会买零食和香烟，香烟一般在里面貌似很奢侈，由于里面人很多每个人的需求不一样，开始可能利用人情之间的关系可以接济一点，如你实在饿了，旁边的狱友可能会把自己的吃的用的分给你点，但这并不能长久，需要交易规则来实现，有交易就会产生对货币（一种衡量物质价值的物品）的需求，有货币就有优币、劣币的现象，你是否看到他们拿到香烟有时还会说带把的，说明这是优币啊，有了货币就有宏观经济的波动，通货紧缩，通货膨胀，有交易就会有信息不对称，有不对称就有中间商，有人在的地方就有情绪、舆论、外部性，当里面物价飞涨时狱友们采用绝世来抗议

• 通货膨胀
  例如每次家属见面日或其他渠道某些人搞到大量的香烟或钱，会给监狱中目前流通的香烟造成冲击，相当于货币在不断增多大于了实际需求，购买力自然下降以前一个香烟可以换一个泡面，现在可能得两根香烟，相反香烟都抽完了时也会造成通货紧缩

• 跨境贸易
  例如两个监狱之间人们之间应该都不认识、也不太熟悉，那么他们之间怎么进行物品交换呢，他们之间可能物资所需不同，如果想交易控制这两个监狱的老大可能就要收取一些好处，这种范围的跨境贸易即产生了