python实现光线追迹(下):折射与反射的实现

折射与反射

光线与光学元件相互作用，无非只有两件事，反射和透射。而就目前看来，我们所常用的光学元件，也无非有两种表面，即平面和球面，二维化之后就简化成了射线与线段，射线与劣弧的关系。

平面反射

无论从哪个角度来看，平面的反射折射都要比球面更简单，而反射问题要比折射问题更简单，所以，我们首先处理平面的反射问题。

反射定律即入射角等于反射角，心念及此，最为循规蹈矩的思路必然是先找到入射光线和平面的夹角，然后用这个夹角和平面(在二维空间中是一条直线)在空间中的斜率，由这个斜率与入射角得到出射光的斜率，然后就可以得到出射光的方程。

这个方法的问题是需要反复使用三角函数和反三角函数，而三角函数和反三角函数并非严格意义上的互为相反，所以在传参的过程中，可能会遇到一些麻烦。

相对来说，比较不容易出错的方法是，寻找入射点关于法线的对称点，那么这个对称点与交点的连线，便是出射光的方程。

如图所示，设入射光的方程为$a_{0}x+b_{0}y+c_0=0$，设反射面BC的方程为$a_{1}x+b_1+c_1=0$。则二者交点$(x,y)$即是如下方程组的解。
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$$

若接触D点的坐标为$(x_D,y_D)$，则法线方程为$-b_{1}x+a_{1}y+c=0$，又因D点过法线，则有

$$-b_0{x}_D+a_0{y}_D+c=0\to c=a_0{y}_D-b_0{x}_D$$

为方便起见，现将法线表示为$ax+by+c=0$，A点坐标为$(x_1,y_1)$，设其对称点为$(x_2,y_2)$，则二者满足关系：
$$\{\begin{array}{rl}& a\cdot \frac{x_1+x_2}{2}+b\cdot \frac{y_1+y_2}{2}+c=0\\ & \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (-\frac{a}{b})=-1\end{array}$$

整理得
$$\left[\begin{array}{cc}b& -a\\ a& b\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]=\left|\begin{array}{c}b{x}_2-a{y}_2\\ -2c-a{x}_2-b{y}_2\end{array}\right|$$

解得
$$\{\begin{array}{r}{x}_1=\frac{-2ac-2ab{y}_2+(b^2-a^2)x_2}{a^2+b^2}\\ y_1=\frac{-2bc-2ab{x}_2+(a^2-b^2)y_2}{a^2+b^2}\end{array}$$

平面折射

折射与反射的思路如出一辙，最原始的想法仍旧是获取入射角，然后根据折射定律求出射角，然后再按照出射角解出出射光的表达式。这个思路的难点仍旧在三角函数与反函数的转化上。

众所周知，折射定律的表达式为$n_{1}sin{\theta }_1=n_{2}sin{\theta }_2$，这个表达式的关键并不在于透射，而在于折射率的变化。如果光在某个表面反射的同时，介质折射率同时发生了突变，如图所示，那么理应同样满足这个关系。

其中，AD为入射光线，DB为出射光线，CD左侧的折射率为$n_1$，右侧为$n_2$。令入射角为${\theta }_1$，出射角为${\theta }_2$，则易得
$$n_{1}sin{\theta }_1=n_{2}sin{\theta }_2\to n1\cdot \frac{l_1}{d_1}=n2\cdot \frac{l_2}{d_2}$$

可解得
$$l_2=\frac{h}{\sqrt{(\frac{n_2}{n_1}{)}^2\cdot [1+(\frac{h}{l_1}{)}^2]-1}}$$

则
$$\lambda =\frac{l_2}{l_1}=\frac{h}{\sqrt{(\frac{n_2}{n_1}{)}^2\cdot (l_1^2+h^2)-1}}$$

至此，我们发现折射与反射在表达形式上是相通的，如果令入射点关于法线做垂线，垂足为C，约定这条垂线与出射光线的交点为出射点B，那么出射点到垂足的距离BC与入射点到垂足的距离AC之间是满足比例关系的。当入射光线和反射光线的折射率相等时，这个比例为1，否则比例为$\lambda$。

我们还能发现，这个$\lambda$不一定有解，因为分母中有一个根号表达式，当内部的值小于0时，自然无解。这与我们的物理直觉是符合的，即并不是所有的入射光线都有折射光线，当折射光线消失的时候，就发生了全反射。

所以，当务之急是根据入射点找垂足，易得
$$\{\begin{array}{rl}& ax+by+c=0\\ & -bx+ay+b{x}_0-a{y}_0=0\end{array}\to \{\begin{array}{rl}& x=\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac}{a^2+b^2}\\ & y=\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}\end{array}$$

然后根据入射点、垂足以及比例关系，求解出射点，其中，入射点为$(x_1,y_1)$，垂足为$(x,y)$。
$$\{\begin{array}{rl}& x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\\ & y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\end{array}\to \{\begin{array}{rl}& x_2=\frac{(1+\lambda )x-x1}{\lambda }\\ & y_2=\frac{(1+\lambda )x-y1}{\lambda }\end{array}$$

那么对于我们所熟知的折射问题，即可令入射点关于反射平面做一次对称，再关于发现做一次定比延长线的对称，即可得到出射点。

python实现

至此，我们已经完全建立了一套反射与折射的关系，代码如下：

#得到点关于直线的对称点,k为比例系数
def getSymDot(point,line,k=1):
    return tuple((np.array(getPedal(point,line))*(1+k)-point)/k)

#得到直线的垂足
def getPedal(point,line):
    a,b,c=line
    x0,y0 = point
    y1 = (a**2*y0-a*b*x0-b*c)/(a**2+b**2)
    x1 = (b**2*x0-a*b*y0-a*c)/(a**2+b**2)
    return (x1,y1)

函数getSymDot即通过输入点和线来求解对称点，其思路是把点关于线对称的问题转化为点关于垂足对称的问题。所以引用了getPedal函数，这个函数通过输入一点和线来返回过点做线的垂线所得到的垂足。

所有代码都是对上述数学公式的简单复现。

def cataDioLine(abc=[1,-1,1],line=[2,-1,1],
                sPoint=[],cross=[],n1=1,n2=1.5):
    normal = [-line[1],line[0],line[1]*cross[0]-line[0]*cross[1]]#法线
    flecDot = getSymDot(sPoint,normal)
    flec=getABC([cross,flecDot])

    dPara = np.sqrt(line[0]**2+line[1]**2)
    dNormal = np.abs(np.array(normal).dot(list(sPoint)+[1]))/dPara#到法线距离
    dPane = np.abs(np.array(line).dot(list(sPoint)+[1]))/dPara#到反射面距离

    if dNormal == 0:
        return flec,abc
    delt = (n2/n1)**2*(1+(dPane/dNormal)**2)-1#判定全反射
    if delt>0:
        k =dPane/dNormal/np.sqrt(delt)
        fracDot = getSymDot(sPoint,normal,k)
        fracDot = getSymDot(fracDot,line)
        frac = getABC([cross,fracDot])
        return flec,frac
    return flec,[0,0,0]

函数cataDioLine则是反射折射的实现函数。注意，在此引入的getABC并不是此前定义的通过点和角度求表达式的函数，而是通过两点转[a,b,c]的函数。

那么我们是否可以写一个同名函数来实现不同的功能呢？很遗憾的是，Python不支持函数的重载，所以只能将同名函数封装在一起：

def getABC(*par):
    if len(par)==1:     #此时传入的参数为点对dots=[(x0,y0),(x1,y1)]
        dots = par[0]
        abc = [dots[1][1]-dots[0][1],
                dots[0][0]-dots[1][0], 
                -np.linalg.det(dots)]
        return np.array(abc)/(np.sqrt(abc[0]**2+abc[1]**2))
    elif len(par)==2:   #此时传入的参数为点和角度(x0,y0),theta
        theta,sPoint = par
        a,b = [np.sin(theta),-np.cos(theta)]
        c = -(a*sPoint[0]+b*sPoint[1])
        return [a,b,c]

看到输入参数(*par)，我们很多人可能会产生某些不是很美妙的联想，但不要兴奋，这只是python的一种传参方式。(*args)表示将传入的参数组成一个列表args；(**kargs)表示将传入的参数组成一个字典kargs。

弧面问题

光线在弧面上的反射问题，是典型的那种看似复杂实则简单的纸老虎问题，简单到我们只要找到法线就能轻松地转化为平面问题。

所以，问题被简单地转化为求解圆的切线问题——这个切线即反射平面。由于数学过程过于简单，就不写公式了，读者可以试着看代码反推公式。

#获取过交点的圆弧的切线
def getTangent(corss=[0,1],circle=[0,0,1]):
    a = corss[0]-circle[0]
    b = corss[1]-circle[1]
    c = -a*corss[0]-b*corss[1]
    return [a,b,c]

至此，我们就可以得到一个完整的折射反射问题的求解方案：

#光在直线或弧线表面的反折射
def cataDio(abc=[1,-1,1],dots=[(0,2),(2,2)],
            sPoint=[-2,-1],n1=1,n2=1.5):
    cross = getCross(abc,dots,sPoint)           #获取交点
    if cross == []:
        return [],[],[]
    if len(dots)==3:
        line = getTangent(cross,arc2cir(dots))  #圆上切线
    elif len(dots)==2:
        line = getABC(dots)
    flec,frac = cataDioLine(abc,line,sPoint,cross,n1,n2)
    return cross,flec,frac

当然，这里的getCross也需要重新写成不仅适合直线，而且适合弧线的形式：

def getCross(abc=[1,-1,0],dots=[[0,-1],[0,1],[0.5,0]],point=[]):
    if len(dots)==3:
        return getCrossArc(abc,dots,point)
    if len(dots)==2:
        return getCrossDots(abc,dots,point)

这时我们发现用两个点表示线段，三个点表示弧线还是比较舒服的一种做法，至少二者在表达形式上的统一似乎能为我们带来某种内心的愉悦。