数学思想方法揭秘-10(原创)

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第52题

原讲解视频网址https://www.ixigua.com/i6699701995680301581/，方法不错。

下面是另两种方法，用不等式来解，如下图。

总结：利用方程和不等式的辩证关系，方程&等式与不等式是有关系的有联系的，方程或等式是不等式的特殊情况，不等式是一般情况。但对等式和不等式，很多人会先入为主，想当然地总觉得等式比不等式更有确定性更靠谱，不敢单向越过等式到不等式的边界，这是画地为牢。要辩证地看待和利用特殊与一般的关系，双向考察，其实离开特殊情况去研究一般情况或者说从特殊情况变到一般情况，天地更广阔了，可得到更多认识，也能更深刻地了解特殊情况存在的由来和条件，因为一般情况是常态是本源，通常由一般衍生出特殊。这道题我们大胆地从特殊到一般，也就是根据等式与不等式的联系进行导航，由等式联想到不等式，变出不等式。这题的两种方法都用到不等式中等号成立的(边界)条件。

第一种方法，观察方程特征，3个方程式左边有4次方(偶数次方)和2次方，而右边为2次，左边还有数字4，平方数。如果能把4次降为2次，次数就统一了，直觉上感觉变简单了。故想到把4次方和4组合在一起，根据基本不等式进行降次，降到2次，得到方程式1、2、3。根据”数学解题的本质是变化”这句话的指引，我们要思考下一步如何变。容易想到的变化手段是把这三个方程式想加。

第二种方法，观察题目中的三个方程式，发现它们的特征，还能怎么做，怎么变化？经过试探后只能是先把这三个原方程式相加。分组思想，相加后要想到把分为一组，再联想到开头的引理，这个引理大多数学生都应该碰到过。在探索本题的解题方法时，要时刻抓住方程式右边的系数5是怎么来的，反过来想就是如何处理5这个系数。5这个数在这里很可能要分拆，也就是要变成几个系数相加得到5，上面的方法也验证了这一点。

  这道题和数学思想方法揭秘-5中的第19题类似，都用到方程与不等式的特殊与一般的关系，从方程联想到不等式。

第53题

原视频没有给出证明，只是猜测了方程的解，这里给出严谨的证明过程，如下图。

总结：这题两个未知数，一个方程式，不是常规的方程。根据方程式的特征，很容易得出开头的两组解，它们是特殊值。另外还可得出正数解和负数解的对应关系。接下来的证明方法，要根据方程式右边的特点，是两个连续的整数(x和x+1)相乘，所以要想到方程左边的如何分解成两个数相乘，如果其分解形式用理性思维抽象思维想不出来，可以用几个具体的y值看下一分解情况，例如，看看这些具体的数如何分解成两个数相乘，得到感性认识，再回到抽象理性认识上，就能得出要按y是质数还是合数来分类讨论，根据这个分类情况，再补充x=1、y=1的情况(因为1既不是质数也不是合数)，最前面x=0、y=0都有了。此题的一个关键是要发现x和x+1是互质的关系，这个既然想到要分解，就能联想到公约数，进而能联想到小学学过的公约数辗转相除法，在大脑中一秒钟就能发现这个关系，根据这个关系，可得出y为合数时，左边只能分解成的形式()，分别对应x和x+1。

敏锐的观察、特殊值思想、丰富的联想、分类思想、抽象到具体的相互转化相互利用。从方程式右边联想到要对左边进行分解或者说分拆，类似因式分解。

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