概率论基础（一）：条件均值与全期望公式

【条件均值与全期望公式】
  假定两个连续的随机变量$X,Y$，它们的联合概率密度为
$$p_{\mathrm{X},\mathrm{Y}}(x,y)=p_{\mathrm{X}}(x)p_{\mathrm{Y}|\mathrm{X}}(y|x)=p_{\mathrm{Y}}(y)p_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}(x|y)$$则有条件均值$\mathbb{E}[X|Y=y]=\mathbb{E}[X|y]$为
$$\mathbb{E}[X|y]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{p}_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}(x|y)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{p_{\mathrm{X},\mathrm{Y}}(x,y)}{p_{\mathrm{Y}}(y)}dx.$$进一步我们来推导全期望数学公式
$${\mathbb{E}}_{\mathrm{Y}}\{{\mathbb{E}}_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}[X|Y]\}={\mathbb{E}}_{\mathrm{X}}[x].$$证明如下：
$${\mathbb{E}}_{\mathrm{Y}}\{{\mathbb{E}}_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}[X|Y]\}={\int }_{-\infty }^{\infty }\{{\mathbb{E}}_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}[X|y]\}{p}_{\mathrm{Y}}(y)dy$$$$={\int }_{-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\infty }^{\infty }x{p}_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}(x|y)dx]p_{\mathrm{Y}}(y)dy$$$$={\int }_{-\infty }^{\infty }x{\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_{\mathrm{X}|\mathrm{Y}}(x|y)p_{\mathrm{Y}}(y)dydx$$$$={\int }_{-\infty }^{\infty }x[{\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_{\mathrm{X},\mathrm{Y}}(x,y)dy]dx$$$$={\int }_{-\infty }^{\infty }x{p}_{\mathrm{X}}(x)dx={\mathbb{E}}_{\mathrm{X}}(x)$$