第2章 第2节 数列极限

数列

按正整数编了号的一串数。

——通项
注意：
数列的表示有顺序，而集合没有。

定义 2.2.1

有数列常数
假如对任意给定的可以找到正整数使得当时，成立
则称收敛于,记为：
若假如不存在使收敛于则称发散。

邻域

一个数列收敛与否，收敛的话，收敛于哪个数，这与数列的前有项无关。

例 2.2.1

用定义证明极限为1。

证：
对任意给定的要使得：

以为极限的变量称为无穷小量

例 2.2.2

方法一
对任意给定的

方法二
对任意给定的（只考虑小的）

例 2.2.3

证：

例 2.2.4

例 2.2.5

证：

例 2.2.6

证：

数列极限的性质

（1）惟一性

若

证明

（2）有界性

证明

推论

收敛数列必定有界.

（3）保序性

有
则：成立：。

证明

（4）夹逼性

有成立且
则：。

证明

数列极限的四则运算

有.则：
（1）（前提：有限个项相加）
（2）
（3）

证明