机器学习算法之------PCA主成分分析（降维）

PCA主成分分析（降维）

• 1、用处
• 数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
• 可视化数据，例如3D–>2D等
• 2、2D–>1D，nD–>kD
  如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小

注意数据需要归一化处理
思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小
那么nD–>kD就是找k个向量$$u^{(1)},u^{(2)}\dots u^{(k)}$$，所有数据投影到上面使投影误差最小
eg:3D–>2D,2个向量$$u^{(1)},u^{(2)}$$就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

• 3、主成分分析PCA与线性回归的区别
  线性回归是找x与y的关系，然后用于预测y
  PCA是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差

• 4、PCA降维过程

• 数据预处理（均值归一化）

• 公式：

• 就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）

实现代码：

# 归一化数据
   def featureNormalize(X):
       '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
       n = X.shape[1]
       mu = np.zeros((1,n));
       sigma = np.zeros((1,n))
       
       mu = np.mean(X,axis=0)
       sigma = np.std(X,axis=0)
       for i in range(n):
           X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
       return X,mu,sigma

计算协方差矩阵Σ（Covariance Matrix）：
注意这里的Σ和求和符号不同
协方差矩阵对称正定（不理解正定的看看线代）
大小为nxn,n为feature的维度

实现代码：

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma

计算Σ的特征值和特征向量
可以是用svd奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)
返回的是与Σ同样大小的对角阵S（由Σ的特征值组成）[注意：matlab中函数返回的是对角阵，在python中返回的是一个向量，节省空间]
还有两个酉矩阵U和V，且

注意：svd函数求出的S是按特征值降序排列的，若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U
降维
选取U中的前K列（假设要降为K维）

Z就是对应降维之后的数据
实现代码：

# 映射数据
   def projectData(X_norm,U,K):
       Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
       
       U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个
       Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 
       return Z

过程总结：
Sigma = X’*X/m
U,S,V = svd(Sigma)
Ureduce = U[:,0:k]
Z = Ureduce’*x

• 5、数据恢复
  因为：
  所以：（注意这里是X的近似值）
  又因为Ureduce为正定矩阵，【正定矩阵满足：，所以：，所以这里：

实现代码：

 # 恢复数据 
    def recoverData(Z,U,K):
        X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
        U_recude = U[:,0:K]
        X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude))  # 还原数据（近似）
        return X_rec

• 6、主成分个数的选择（即要降的维度）
  如何选择
  投影误差（project error）：
  总变差（total variation）:
  若误差率（error ratio）：，则称99%保留差异性
  误差率一般取1%，5%，10%等
  如何实现
  若是一个个试的话代价太大
  之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S，这里误差率error ratio:
  
  可以一点点增加K尝试。

• 7、使用建议
  不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
  只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA

• 8、运行结果

• 2维数据降为1维
  要投影的方向
  
  2D降为1D及对应关系
  
  人脸数据降维
  原始数据
  
  可视化部分U矩阵信息
  
  恢复数据
  

• 9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

导入需要的包：

#-*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

归一化数据

'''归一化数据并作图'''
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)

使用PCA模型拟合数据，并降维
n_components对应要将的维度

'''拟合数据'''
    K=1 # 要降的维度
    model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)   # 拟合数据，n_components定义要降的维度
    Z = model.transform(x_train)    # transform就会执行降维操作

数据恢复
model.components_会得到降维使用的U矩阵

'''数据恢复并作图'''
    Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce
    x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复