环的定义及性质
定义
定义：设R为一个非零集合,在R上定义了两种代数运算,分别称为加法和乘法,记作和,且加法和乘法满足：
1.是一个交换群
2.乘法满足结合律,即,有
3.分配律成立,即,有(左分配律),(右分配律)
则R连同其上的代数运算和称为一个环,记作,简记作$R
注：
1.分配律将环中的加法和乘法联系起来,环R上的乘法运算符号通常省去
2.在环中,加法的单位元称为零元,记作0,R中元a对加法的逆元称为a的负元,记作-a
3.若环R的乘法满足交换律,即,有,则称R为交换环,交换环不区分左分配律和右分配律
4.若环R的乘法存在一个单位元,即,使,有,则称R是有单位元的环,也称为含幺环,含幺环单位元是唯一的,通常用1表示
例：
1.偶数的集合2Z,对数的加法和乘法来说,构成一个交换环,记作
2.设表示R上所有矩阵的集合,对矩阵的加法和乘法来说,构成一个非交换的含幺环,记作
3.设表示数域F上所有多项式的集合,对多项式的加法和乘法来说,构成一个含幺交换环
4.设为任一交换群(加群),G的单位元记作0,定义G的乘法为,有,则易证是一个环,称为零环
性质
定理：设R是一个环,,有
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
证明：
例：
1.设为整数模n的剩余类,定义,,已证是交换群,乘法也是上的一个代数运算
证：
2.设S是任一集合,A是一个环,所有从S到A的映射所构成的集合R中定义加法和乘法：,,,易证R对这两种运算构成一个环,R中加法的零元是映射,设,则对加法来说,负元是,即,有$(-\alpha)(x)=-\alpha(x)
若A是交换环,则R也是交换环,若A是含幺环,则R也是含幺环,若令1是A的乘法单位元,则从S到A的映射即为环R中的乘法单位元
零因子
定义：设是环,,若,使,则称a为一个左零因子,对称地可定义右零因子,若一个元既是左零因子又是右零因子,则称为R中的零因子
注：
1.左零因子不一定是右零因子,交换环中不区分左零因子和右零因子
2.设是一个环,零元是一个零因子,称为平凡的零因子,非零的左(右)零因子称为真左(右)零因子
若无特别声明,所有左(右)零因都是指真左(右)零因子
3.设a为环R的左零因子(),则,使,b为环R的右零因子,反之亦然,故环R中有左零因子当且仅当它有右零因子
4.无左零因子和右零因子的环称为无零因子环,例：整数环、数域F上的多项式环
定理：设R为无零因子环,则在R中左、右消去律都成立,即,
反之,在环R中若有一个消去律成立,则R是无零因子环
证明：
推论：在一个环中,若有一个消去律成立,则另一个消去律也成立