均值之差的置信区间

我们想检验一种低脂节食能否帮助人们减肥。100个随机抽取的人采用低脂节食,另100个随机抽取的肥胖者作为对照,对照组少吃几乎等量的食物。这样,第二组就是普通节食的对照组,第一组是低脂节食实验组。4个月后,第一组的体重减轻均值是9.31磅,标准差是4.67磅。对照组体重减轻均值是7.40磅,标准差是4.04磅。

第一组:均值=9.31,标准差=4.67
第二组:均值=7.40,标准差=4.04

均值之差 = 9.31-7.40=1.91
我们要在1.91周围找到95%的置信区间。

随机抽样均值之差分布 近似服从正态分布,该分布均值为: 1.91,标准差为:根号下(4.674.67/100+4.044.04/100)=0.617

该分布的95%置信区间的Z值为 1.96,也就是均值左右1.96个标准差距离的面积为95%,1.96*0.617=1.21
95%置信区间下: 1.91-1.21 < 抽样均值差 < 1.91+1.21 即:0.7 <抽样均值差<3.12

也就是样本均值之差1.91 有 95%的几率落在 随机抽样分布(均值之差分布)的均值的左右1.96个标准差距离内。 也可以理解为
分布的均值(随机抽样的均值差的分布)有95%的概率落在 样本均值差1.91左右1.96个标准差范围内。

零假设:低脂节食对减肥无效(相对于普通节食)
备择假设:低脂节食对减肥有效(相对于普通节食)
零假设下:低脂组的总体均值 - 对照组的总体均值 = 0 即低脂组的抽样均值 - 对照组的抽样均值 = 0
也就是说总体均值差=0 即: 随机抽样均值差=0
备择假设下:低脂组的总体均值 - 对照组的总体均值 > 0 即低脂组的抽样均值 - 对照组的抽样均值 > 0
也就是说总体均值差>0 即: 随机抽样均值差>0
假设检验的显著性水平5%
零假设下:抽样均值差1.91达到(均值差为0)的95%范围内,择我们拒绝零假设,选择备择假设。
均值差分布近似服从正太分布,大样本下,查Z分布表可得:单侧95%的Z值为1.65
标准差为:0.617 则1.65*0.617 = 1.02
所以如果假设低脂节食对减肥无效,随机抽样的均值差只有5%的概率大于1.02.
1.91 > 1.02,概率只有5%,所以拒绝零假设,选择备择假设。

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