在一个文件中有10G个整数，乱序排列，要求找出中位数

题目：在一个文件中有 10G 个整数，乱序排列，要求找出中位数。内存限制为 2G。只写出思路即可（内存限制为 2G的意思就是，可以使用2G的空间来运行程序，而不考虑这台机器上的其他软件的占用内存）。

关于中位数：数据排序后，位置在最中间的数值。即将数据分成两部分，一部分大于该数值，一部分小于该数值。中位数的位置：当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2 ; 当样本数为偶数时，中位数为N/2与1+N/2的均值（那么10G个数的中位数，就第5G大的数与第5G+1大的数的均值了）。

分析：明显是一道工程性很强的题目，和一般的查找中位数的题目有几点不同。
1. 原数据不能读进内存，不然可以用快速选择，如果数的范围合适的话还可以考虑桶排序或者计数排序，但这里假设是32位整数，仍有4G种取值，需要一个16G大小的数组来计数。

2. 若看成从N个数中找出第K大的数，如果K个数可以读进内存，可以利用最小或最大堆，但这里K=N/2,有5G个数，仍然不能读进内存。

3. 接上，对于N个数和K个数都不能一次读进内存的情况，《编程之美》里给出一个方案：设k

解法：首先假设是32位无符号整数。
1. 读一遍10G个整数，把整数映射到256M个区段中，用一个64位无符号整数给每个相应区段记数。
说明：整数范围是0 - 2^32 - 1，一共有4G种取值，映射到256M个区段，则每个区段有16（4G/256M = 16）种值，每16个值算一段， 0～15是第1段，16～31是第2段，……2^32-16 ～2^32-1是第256M段。一个64位无符号整数最大值是0～8G-1，这里先不考虑溢出的情况。总共占用内存256M×8B=2GB。

2. 从前到后对每一段的计数累加，当累加的和超过5G时停止，找出这个区段（即累加停止时达到的区段，也是中位数所在的区段）的数值范围，设为[a，a+15]，同时记录累加到前一个区段的总数，设为m。然后，释放除这个区段占用的内存。

3. 再读一遍10G个整数，把在[a，a+15]内的每个值计数，即有16个计数。

4. 对新的计数依次累加，每次的和设为n，当m+n的值超过5G时停止，此时的这个计数所对应的数就是中位数。

总结：
1.以上方法只要读两遍整数，对每个整数也只是常数时间的操作，总体来说是线性时间。

2. 考虑其他情况。
若是有符号的整数，只需改变映射即可。若是64为整数，则增加每个区段的范围，那么在第二次读数时，要考虑更多的计数。若过某个计数溢出，那么可认定所在的区段或代表整数为所求，这里只需做好相应的处理。噢，忘了还要找第5G+1大的数了，相信有了以上的成果，找到这个数也不难了吧。

3. 时空权衡。
花费256个区段也许只是恰好配合2GB的内存（其实也不是，呵呵）。可以增大区段范围，减少区段数目，节省一些内存，虽然增加第二部分的对单个数值的计数，但第一部分对每个区段的计数加快了（总体改变？？待测）。

4. 映射时尽量用位操作，由于每个区段的起点都是2的整数幂，映射起来也很方便。

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题目：在一个文件中有 10G 个整数，乱序排列，要求找出中位数。内存限制为 2G。只写出思路即可（内存限制为 2G的意思就是，可以使用2G的空间来运行程序，而不考虑这台机器上的其他软件的占用内存）。

 

关于中位数：数据排序后，位置在最中间的数值。即将数据分成两部分，一部分大于该数值，一部分小于该数值。中位数的位置：当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2 ; 当样本数为偶数时，中位数为N/2与1+N/2的均值（那么10G个数的中位数，就第5G大的数与第5G+1大的数的均值了）。

 

分析： 既然要找中位数，很简单就是排序的想法。那么基于字节的桶排序是一个可行的方法 

思想：将整形的每1byte作为一个关键字，也就是说一个整形可以拆成4个keys，而且最高位的keys越大，整数越大。如果高位keys相同，则比较次高位的keys。整个比较过程类似于字符串的字典序。

第一步:把10G整数每2G读入一次内存，然后一次遍历这536,870,912个数据。每个数据用位运算">>"取出最高8位(31-24)。这8bits(0-255)最多表示255个桶，那么可以根据8bit的值来确定丢入第几个桶。最后把每个桶写入一个磁盘文件中，同时在内存中统计每个桶内数据的数量，自然这个数量只需要255个整形空间即可。

代价：(1) 10G数据依次读入内存的IO代价(这个是无法避免的，CPU不能直接在磁盘上运算)。(2)在内存中遍历536,870,912个数据，这是一个O(n)的线性时间复杂度。(3)把255个桶写会到255个磁盘文件空间中，这个代价是额外的，也就是多付出一倍的10G数据转移的时间。

第二步：根据内存中255个桶内的数量，计算中位数在第几个桶中。很显然，2,684,354,560个数中位数是第1,342,177,280个。假设前127个桶的数据量相加，发现少于1,342,177,280，把第128个桶数据量加上，大于1,342,177,280。说明，中位数必在磁盘的第128个桶中。而且在这个桶的第1,342,177,280-N(0-127)个数位上。N(0-127)表示前127个桶的数据量之和。然后把第128个文件中的整数读入内存。(平均而言，每个文件的大小估计在10G/128=80M左右，当然也不一定，但是超过2G的可能性很小)。

代价：(1)循环计算255个桶中的数据量累加，需要O(M)的代价，其中m<255。(2)读入一个大概80M左右文件大小的IO代价。

注意，变态的情况下，这个需要读入的第128号文件仍然大于2G，那么整个读入仍然可以按照第一步分批来进行读取。

第三步：继续以内存中的整数的次高8bit进行桶排序(23-16)。过程和第一步相同，也是255个桶。

第四步：一直下去，直到最低字节(7-0bit)的桶排序结束。我相信这个时候完全可以在内存中使用一次快排就可以了。

 

 

整个过程的时间复杂度在O(n)的线性级别上(没有任何循环嵌套)。但主要时间消耗在第一步的第二次内存-磁盘数据交换上，即10G数据分255个文件写回磁盘上。一般而言，如果第二步过后，内存可以容纳下存在中位数的某一个文件的话，直接快排就可以了。