三门问题（Monty Hall problem）背后的贝叶斯理论

前言

三门问题可以说有着各种版本的解释，但我看了几个版本，觉得没有把其中的条件说清楚，所以还是决定按照自己的理解记录一下这个特别有意思的问题。

问题简介

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的概率是1/3。换门的话，赢得汽车的概率是2/3。

——摘自百度百科

直观的解释

这个问题有一个非常直观的理解：如果参赛者换的话，那么参赛者会在最初选择是错误的时候获得汽车；如果参赛者不换的话，那么参赛者会在最初选择是正确的时候获得汽车。
前者是 23 的概率，后者是 13 的概率

贝叶斯理论的解释

贝叶斯公式是

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)
其中， P(A|B) 表示在事件B发生的前提下，事件A发生的概率； P(B|A) 表示在事件A发生的前提下，事件B发生的概率； P(A) 表示事件A发生的概率； P(B) 表示事件B发生的概率。
现在我们假设三扇门分别是A、B、C，选手最初的选择是门A，主持人打开的是门B，那么问题就变成了
P(汽车在A门|最初选择A门，主持人打开B门)
P(汽车在B门|最初选择A门，主持人打开B门)
P(汽车在C门|最初选择A门，主持人打开B门)
三者的大小问题。
接下来要做的工作就是来算一算三者的大小，由贝叶斯公式可得
P(汽车在A门|最初选择A门，主持人打开B门)=P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在A门)P(汽车在A门)P(最初选择A门，主持人打开B门)
P(汽车在B门|最初选择A门，主持人打开B门)=P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在B门)P(汽车在B门)P(最初选择A门，主持人打开B门)
P(汽车在C门|最初选择A门，主持人打开B门)=P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在C门)P(汽车在C门)P(最初选择A门，主持人打开B门)
好，来看看这些值我们是不是都能算出来。
先从简单的来看
P(汽车在A门)=P(汽车在B门)=P(汽车在C门)=13
这个没问题吧？好~再来看稍微复杂一些的。
P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在A门)=12
汽车在A门的话，主持人可以任意打开B、C门中的一扇，打开B门的概率自然就是 1/2 。
P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在B门)=0
主持人是知道汽车在哪个门的，所以如果汽车在B门，主持人不可能打开B门。
P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在C门)=1
汽车在C门的话，参赛者选了A门，主持人就只能打开B门了。
最后
P(最初选择A门，主持人打开B门)=12
这是为什么？这并不是简单的主持人在B、C门中随机打开一扇门的问题，主持人是知道汽车在哪扇门的，那么这个 1/2 是怎么来的？请看下图~

所以
P(最初选择A门，主持人打开B门)=16⋅(1+0+1+0+12+12)=12
这其实也可以用 全概率来解释，得到的结果都是一样的。
P(最初选择A门，主持人打开B门)=P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在A门)⋅P(汽车在A门)+P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在B门)⋅P(汽车在B门)+P(最初选择A门，主持人打开B门|汽车在C门)⋅P(汽车在C门)=12⋅13+0⋅13+1⋅13=12
好了，至此，贝叶斯公式右边的所有值我们都知道了，来算一下最终结果
P(汽车在A门|最初选择A门，主持人打开B门)=(1/2)⋅(1/3)1/2=13
P(汽车在B门|最初选择A门，主持人打开B门)=0⋅(1/3)1/2=0
P(汽车在C门|最初选择A门，主持人打开B门)=1⋅(1/3)1/2=23
所以，在最初选择A门，主持人打开B门的前提下，汽车在C门的概率是最高的，故此时参赛者应该换成C门。
以上是以参赛者最初选A门，主持人开B门为例分析的，其它情况下的分析方法相同，结果也是相同的。