二分图总结（详细图文适合小白）

刚学完二分图感觉总结一下比较好，图论确实让人头秃，差不多一个多星期大概理解了二分图的内容，但还是挺生涩，还是多打点题吧
由于第一次学可能有些地方有出错欢迎大家指正！

大纲

概念汇总

一、二分图的定义

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。（简单说就是把一个图的顶点分成两个集合，且集合内的点不邻接）

二、匹配

1.匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
2.极大匹配：指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。
3.最大匹配：所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
4.完全匹配（完备匹配）：一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联。

二分图的判断

一、理论判断

• 如果某个图为二分图，那么它至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数，任何无回路的的图均是二分图。

个人理解：两个顶点很好理解，毕竟一个点也不能配对。无回路也可以很容易把点分成两个无关的集合。有回路时，如果回路为奇数
（图2）无论如何不能分成两个无关联的集合，故不是二分图，偶数则可以（图1）。

二、程序判断（染色法）

• 用两种颜色，对所有顶点逐个染色，且相邻顶点染不同的颜色，如果发现相邻顶点染了同一种颜色，就认为此图不为二分图。
  当所有顶点都被染色，且没有发现同色的相邻顶点，就退出，此图是二分图。

  个人理解：其实和理论判断的原理是一样的，巧妙地将回路的奇偶转换成颜色的异同。另外，需要注意的是，若没说明是连通图，需要遍历全部顶点。

下面用邻接表法分别给出dfs和bfs的代码

bfs法

const int maxn = 1e5+10;
vector <int> G[maxn];
int col[maxn];
bool bfs(int u)//这里因为不一定连通图的原因设置一个变量，外部引用函数的时候遍历访问就行
{
    queue<int> q;
    q.push(u);//当前点入队
    col[u]=1;//当前点涂色
    while(!q.empty())
    {
        int v=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<G[v].size();i++)//遍历与当前点关联的所有点
        {
            int x=G[v][i];//获得第i个关联点的下标
            if(col[x]==0)//如果没图色
            {
                col[x]=-col[v];//图相反颜色
                q.push(x);
            }
            else
            {
                if(col[x]==col[v])//颜色相同不是二分图返回false
                    return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
       if(col[i]==0&&!bfs(i))
       {
           printf("No\n");
           return;
       }
    }
    printf("Yes\n");
}

dfs法

bool dfs(int v, int c){
    color[v] = c;    //将当前顶点涂色
    for(int i = 0; i < n; i++){    //遍历所有相邻顶点，即连着的点
        if(edge[v][i] == 1){    //如果顶点存在
            if(color[i] == c)    //如果颜色重复，就返回false
                return false;
            if(color[i] == 0 && !dfs(i,-c))    //如果还未涂色，就染上相反的颜色-c,并dfs这个顶点，进入下一层
                return false;   //返回false
        }
    }
    return true;   //如果所有顶点涂完色，并且没有出现同色的相邻顶点，就返回true
}

最大匹配

一、概念

• 交替路：从一个未匹配的点出发，依次经过未匹配边、匹配边、未匹配边…这样的路叫做交替路。
• 增广路：从一个未匹配的点出发，走交替路，到达了一个未匹配过的点，这条路叫做增广路（图3）。
  

红线代表匹配边， 1、5、4、7已匹配，则8->4->7->1->5为一条增广路

二、匈牙利算法

• 原理：匈牙利算法通过不断求增广路来求最大匹配。因为增广路有下面四个性质：

  1.增广路有奇数条边 。
  2.路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。
  3.起点和终点都是目前还没有配对的点。
  4.未匹配边的数量比匹配边的数量多1。
  主要是性质4，由于未匹配边数量比匹配边多1，故只要有增广路那么把这条路的匹配边变成未匹配边，未匹配边变成匹配边那么总匹配边数就能加1。
  贴上一个生动形象的博客：四个男人和四个女人的故事

• 代码

const int maxn = 1e5+10;

vector <int> G[maxn];
int n,m;//n为点的数量 m为边的数量
int vis[maxn],pei[maxn];//vis记录点是否被访问，pei存每个点所匹配的点

bool dfs(int u)
{
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)//遍历与该点关联的所有点
    {
        int v=G[u][i];//所关联的点
        if(!vis[v])//没访问过
        {
            vis[v]=1;
            if(!pei[v]||dfs(pei[v]))//若关联的点没被匹配或者dfs返回true说明关联的点所匹配的点可以挪走，则把关联的点和传入的点匹配（即下面代码）
            {
                pei[v]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

void solve()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//遍历所有的点
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i)) ans++;//如果有增广路则加一条匹配边
    }
    printf("%d\n",ans);
}

模板题

Fire Net HDU - 1045 这题还用到了缩点的原理 需要思考一下
The Accomodation of Students HDU - 2444 很裸的判断二分图+最大匹配