巴什博奕(Bash_Game)

一、定义

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物， 规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

二、分析

我们从最简单的情景开始分析

当石子有1−m1−m个时，毫无疑问，先手必胜

当石子有m+1m+1个时，先手无论拿几个，后手都可以拿干净，先手必败

当石子有m+2−2mm+2−2m时，先手可以拿走几个，剩下m+1m+1个，先手必胜

我们不难发现，面临m+1m+1个石子的人一定失败。

这样的话两个人的最优策略一定是通过拿走石子，使得对方拿石子时还有m+1m+1个

我们考虑往一般情况推广

• 设当前的石子数为n=k∗(m+1)+rn=k∗(m+1)+r

先手会首先拿走rr个，接下来假设后手拿走xx个，先手会拿走m+1−xm+1−x个，这样博弈下去后手最终一定失败

• 设当前的石子数为n=k∗(m+1)n=k∗(m+1)

假设先手拿xx个，后手一定会拿m+1−xm+1−x个，这样下去先手一定失败

三、变形

两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

对于巴什博弈，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢?

(n-1)%(m+1)==0则后手胜利

先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的

例如n=15，m=3

后手 先手 剩余

0      2      13

1      3       9

2      2       5

3     1        1

1     0        0

先手胜利 输的人最后必定只抓走一个，如果>1个，则必定会留一个给对手

四、解决方案

1、结论

#include
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n % (m+1) !=0) printf("first win");
    else printf("second win");
    return  0;
}

二、SG定理

#include 

using namespace std;

const int N = 1000 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int sg[N], sm[N];
bool vis[N];
void SG(int n, int m)
{
    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for(int j = max(i-m, 0); j < i; j++) vis[sg[j]] = true;//i的后继是[max(i-m,0), i-1]
        for(int j = 0; j <= n; j++)//mex运算
            if(! vis[j])
            {
                sg[i] = j; break;
            }
    }
}
int main()
{
    int t, n, m;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        SG(n, m);
        puts(sg[n] ? "first" : "second");
    }
    return 0;
}

三、DFS

 可以解决，但是TLE!!!

五、例题

http://poj.org/problem?id=2348

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4764

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

六、参考文章

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8460192.html

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073