寒假复习计划（一）

基础图论

1. 最短路

• Floyd

  • 求多源最短路径
  • O(n ^ 3)
  • dp[k][i][j]=min(dp[k−1][i][j],dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j]) ，顶点 i 到 j 且经过顶点 k 的最短路径长度。

• Dijkstra

  • 求单源最短路径
  • 堆优化后为 O((m + n) log n) 近似为 O(m log n)
  • 每次选择一个未访问过的到已经访问过的所有点的集合的最短边，再用这个点进行更新

• SPFA

  • 求单源最短路径
  • O(nm)
  • 每次取队首 u，根据边 (u, v) 松弛点 v 的最短路，若更新则将 v 加入队列末尾
    （dis[v] <-> dis[u] + c(u, v)）

2. 最小生成树（一个图的生成树要包含这个图的所有顶点）

• Kruskal

  • O(m log n)
  • 将顶点分为若干个集合，每次选取不在集合内部的最小的边，不断的将各个集合连接起来。
    简单的说就是先按边排个序，然后遍历每条边，判断边的两个顶点是否在同一集合中（并查集）。

• 拓展：次小生成树

  • O(n ^ 2)

  • 先求最小生成树 T，枚举添加不在 T 中的边，则添加后一定会形成环。找到环上边值第二大的边（T 中的最大边），把它删掉，计算当前生成树的权值。

    • 实现：首先求最小生成树 T，然后从每个结点遍历最小生成树 T，用一个二维数组 max[a][b] 记录结点 a 到结点 b 的路径上边的最大值（即最大边的值）。然后枚举不在 T 中的边 (u, v)，计算 T - max[u][v] + w(u, v) 的最小值，即为次小生成树的权值。O(n ^ 2 + e)

3. Tarjan 算法的应用

• 强连通分量

  • 安利一个炒鸡棒的 博客(๑•̀ㅂ•́)و✧

  • O(V + E)

    • dfn[u] 表示进入节点 u 时的时间。

    • low[u] 表示由节点 u 开始搜索所能到达的点中，在搜索树上是 u 的祖先（可以通过一条反祖边或者横叉边到达的节点 v 并且 同样从 v 也要能到达 u）且 dfn 最小的节点的 dfn

  • (1) 节点 u 通过树边到达节点 v（第一次访问到）

    • low[u]=min(low[u],low[v])

  • (2) 节点 u 通过反祖边到达节点 v，或者通过横叉边到达节点 v（非第一次访问到）

    • low[u]=min(low[u],dfn[v])

• 割点

  • 对于一个搜索树上的非根节点 u，如果存在子节点 v，满足 low(v) >= dfn(u)，则 u 为割点
    （low(v) >= dfn(u) 的意义是 v 无法向上到达 u 的父节点）

  • 对于根节点，如果它有两个或更多的子节点，则它为割点。

• 割边

  • 对于一个搜索树上的节点 u，如果存在子节点 v，满足 low(v) > dfn(u)，则 (u, v) 为割边
    （low[v] > dfn[u] 时，表示 v 节点只能通过该树边 (u, v) 与 u 连通）

4. 二分图基础

• 匈牙利算法

  • 二分图最大匹配
  • 增广路：对于一条路径，从一个未匹配点出发，走交替路，终止于另一个未匹配点 ，则这条交替路称为增广路。
  • O(nm)
  • 尝试更改配对关系，递归回溯。