网络流之最大流 EK/Dinic/Isap算法 学习笔记
EK
算法流程
不停地找增广路进行增广，知道找不到增广路为止。
每一次bfs只找一条增广路。
时间复杂度 O(VE2)
代码
// codevs 1993
#include
using namespace std;
const int inf=2100000000;
int n,m,maxflow,a[205][205],flow[205],pre[205];
//n表示边数，m表示点数，maxflow为最大流流量，a为每条边的容量，flow为每个点增广的流量，pre为
增广时点的前驱
int x,y,cap;
queue <int> q;
inline int bfs(int s,int t){
while (!q.empty()) q.pop();
for (int i=1;i<=m;++i) pre[i]=-1;
pre[s]=0;
q.push(s);
flow[s]=inf;
while (!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
if (x==t) break;
for (int i=1;i<=m;++i)
//EK一次只找一个增广路
if (a[x][i]>0&&pre[i]==-1){
pre[i]=x;
flow[i]=min(flow[x],a[x][i]);
q.push(i);
}
}
if (pre[t]==-1) return -1;
else return flow[t];
}
//s为源点，t为汇点
//increase为增广的流量
inline void ek(int s,int t){
int increase=0;
while ((increase=bfs(s,t))!=-1){
int k=t;
while (k!=s){
int last=pre[k];
a[last][k]-=increase;
a[k][last]+=increase;
k=last;
}
maxflow+=increase;
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&cap);
a[x][y]+=cap;
}
ek(1,m);
printf("%d\n",maxflow);
}Dinic
dinic算法在EK算法的基础上增加了分层图的概念，根据从s到各个点的最短距离的不同，把整个图分层。寻找的增广路要求满足所有的点分别属于不同的层，且若增广路为 s,P1,P2…Pk,t ，点 v 在分层图中的所属的层记为 deepv ，那么应满足 deeppi=deeppi−1+1
算法流程
- 对网络中的每一条边，将流量设置为0
- 对当前残量网络，构建分层图。若 deept=+∞ ，则退出，输出答案。
- 寻找到残量网络中的一条满足分层图限制的可行流
（即原网络中满足分层图限制的增广路） - 利用寻找到的增广路『增流』 ，重复步骤2
时间复杂度
在普通情况下， DINIC算法时间复杂度为 O(V2E)
在二分图中， DINIC算法时间复杂度为 O(V−−√E)
优化
• 多路增广
每次不是寻找一条增广路，而是在DFS中，只要可以就递归增广下去，实际上形成了一张增广网。
• 当前弧优化
对于每一个点，都记录上一次检查到哪一条边。因为我们每次增广一定是彻底增广（即这条已经被增广过的边已经发挥出了它全部的潜力，不可能再被增广了），下一次就不必再检查它，而直接看第一个未被检查的边。
优化之后渐进时间复杂度没有改变，但是实际上能快不少。
实际写代码的时候要注意，next数组初始值为-1，存储时从0开始存储，这样在后面写反向弧的时候比较方便，直接异或即可。
代码
// codevs 1993
#include//找到当前点最大能够增广的flow
//limit表示到目前为止走过的增广路容量最小的边
inline int dfs(int now,int t,int limit){
if (!limit||now==t) return limit;
int flow=0,f;
for (int i=cur[now];i!=-1;i=next[i]){
cur[now]=i;
if (deep[v[i]]==deep[now]+1&&(f=dfs(v[i],t,min(limit,remain[i])))){
flow+=f;
limit-=f;
remain[i]-=f;
remain[i^1]+=f;
if (!limit) break;
}
}
return flow;
}
inline void dinic(int s,int t){
while (bfs(s,t))
maxflow+=dfs(s,t,inf);
}
int main(){
tot=-1;
memset(point,-1,sizeof(point));
memset(next,-1,sizeof(next));
scanf("%d%d",&m,&n);
for (int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&cap);
add(x,y,cap);
}
dinic(1,n);
printf("%d\n",maxflow);
} Isap
ISAP（ImprovedShortestAugmentingPath）也是基于分层思想的最大流算法。所不同的是，它省去了
Dinic每次增广后需要重新构建分层图的麻烦，而是在每次增广完成后自动更新每个点的标号（也就是所
在的层）
算法流程
- 利用BFS从开始反向标号（分层）。
- 进行递归，若当前节点 i
(1)为汇点，则进行增广，同时退回到起点准备进行新一轮增广路的寻找。
(2)在残量网络中存在一条边 (i,j) ， c′ij>0 ,且 deepi=deepj+1 （即满足分层图的要求），则
前进到 j 点。
3. 没有满足条件的出边，对 i 点重新进行标号。 deepi=min{deepj|(i,j)∈E′,c′ij>0} ，其
中 E′ 为残量网络的边集。
算法结束的条件： deeps=+∞ （类似于Dinic，即在残量网络中已不存在s到t的通路。
时间复杂度
渐进时间复杂度和dinic相同，但是非二分图的情况下isap更具优势。
优化
1、当前弧优化：和dinic相同
2、GAP优化：
numk 记录当前有多少点编号为 k
若 ∃k∈[0,deeps],numk=0 ,则说明当前的网络不可能再被增广，可以直接退出。
代码
// codevs 1993
#include//如果到达汇点则进行增广，重新回到源点准备下一轮增广
if (now==t){
maxflow+=addflow(s,t);
now=s;
}
bool has_find=false;
//当前弧优化
for (int i=cur[now];i!=-1;i=next[i]){
int u=v[i];
if (deep[u]+1==deep[now]&&remain[i]){
has_find=true;
cur[now]=i;
last[u]=i;
now=u;
break;
}
}
//没有找到出边，重新进行标号
if (!has_find){
int minn=n-1;
for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])
if (remain[i])
minn=min(minn,deep[v[i]]);
//GAP优化
if (!(--num[deep[now]])) break;
num[deep[now]=minn+1]++;
cur[now]=point[now];
if (now!=s)
now=v[last[now]^1];
}
}
}
int main(){
tot=-1;
memset(point,-1,sizeof(point));
memset(next,-1,sizeof(next));
scanf("%d%d",&m,&n);
for (int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&cap);
add(x,y,cap);
}
isap(1,n);
printf("%d\n",maxflow);
}