关系数据库设计理论（5） 关系模式的规范化

一、范式

关系模式满足的确定约束条件称为范式，根据满足约束条件的级别不同，     范式由低到高分为1NF,2NF,3NF,BCNF,4NF,5NF等。         不同的级别范式性质不同。        关系模式的规范化：把一个低一级的关系模式分解为高一级关系模式的过程。

二、概念

1、第一范式(1NF)            关系模式的所有域为简单域，其元素(即属性)不可再分，        是属性项而不是属性组。        例4.5.1：        例4.5.2：工资(工号，姓名，工资(基本工资，年绩津贴，煤电补贴))       △ 不满足1NF的关系称为非规范化关系。       △ 关系数据模型不能存储上两个例子（非规范化关系），          在关系数据库中不允许非规范化关系的存在。       △ 转化方法：        (1) A1,A2,A3,…，Ak1，Ak2，…,An        (2) 工资(工号,姓名,基本工资,津贴,奖金)     2、第二范式（2NF）：            给定关系模式R及其上的函数依赖集F，        如果R的任何一个非主属性都完全依赖于它的每一个侯选关键字，        则称R是第二范式，简记为2NF。        △ 若关系模型H包含的每一关系模式都是2NF的，则称该关系模型是2NF的。        △ 2NF∈1NF        例4.5.3：            SCT（SNO,CNO,CN,GRADE,TNAME,BDATE,SALARY）            F={SNO,CNO→GRADE            CNO→CN,CNO→TNAME            TNAME→BDATE,TNAME→SALARY} 非2NF        存在问题：1.数据冗余；2.插入，删除异常 3.修改麻烦。         原因：非主属性部分依赖于侯选关键字，              关键字是一个元组区别其它元组的依赖，              同时也是一个元组赖以存在的依据。        分解为：SC (SNO,CNO,GRADE),CT(CNO,CN,TNAME,BDATE,SALARY)        例4.5.4：            R=(ABCD,{AB→C，C→D})        答案：R为2NF      3、第三范式（3NF）           给定关系模式R及其上的函数依赖集F，       如果R的任何一个非主属性都不传递依赖于它的任何一个侯选关键字，       则称R是第三范式，简记为3NF。       △ 若关系模型H包含的每一关系模式都是3NF的，则称该关系模型是3NF的。       △ 定理：一个3NF的关系(模式)必定是2NF的(3NF∈2NF∈1NF) 。        证明：如果一个关系(模式)不是2NF的，那么必有非主属性Aj，         候选关键字X和X的真子集Y存在，使得Y→Aj。由于Aj是非主属性，         故Aj-(XY)≠Φ，Y是X的真子集，所以YX，         这样在该关系模式上就存在非主属性Aj传递依赖候选关键字X(X→Y→Aj)，         所以它不是3NF的，证毕。       例4.5.4：CT（CNO,TNAME,BDATE,SALARY）         解：不能存放不开课的教师，教师信息和课程数一样多。       原因：传递函数依赖            R={City,St,Zip}            F={(City,St)→Zip,Zip→City} 3NF            CT(CNO,TNAME, BDATE, SALARY）非3NF       分解为：C(CNO,CNAME,TNAME), T(TNAME,BDATE,SALARY) 3NF      4、BCNF（改进的3NF）             给定关系模式R及其上的函数依赖集F,如果R的任意两个子集X、Y，         当非平凡函数依赖X→Y为F所蕴涵，则决定因素X中         必含有侯选关键字或X为超关键字，则称R是Boyde/Codd范式，         简记为BCNF。         BCNF的内涵：          (1)非主属性对关键字完全函数依赖          (2)主属性对不含它的关键字完全函数依赖          (3)没有属性完全函数依赖于一组非主属性          (4)主属性不传递依赖于任何一个侯选关键字          (5)非主属性不传递依赖于任何一个侯选关键字       △ 定理： BCNF满足3NF (BCNF∈3NF∈2NF∈1NF)         反证法：             R∈BCNF，但R∈BCNF         设存在非主属性A，关键字X以及属性组Y，使得X→Y，Y→X，Y→A，         由BCNF有Y→A，则Y为关键字，于是有Y→X，这与YX矛盾。       例4.5.6：              R={S，T，J}              F={T→J，ST→J，SJ→T}非BCNF              C(CNO,CNAME,TNAME),T(TNAME,BDATE,SALARY)  BCNF       分解为：ST(S,T), TJ(T,J)      5、总结：          3NF→BCNF:消除主属性对侯选关键字的部分和传递函数依赖          2NF→3NF :消除非主属性对侯选关键字的传递函数依赖          1NF→2NF :消除非主属性对侯选关键字的部分函数依赖      6、规范化的基本思想             逐步消除不合适的函数依赖，使数据库中的各个关系模式         达到某种程度的分离。

三、分解算法

1、分解的基本要求            分解后的关系模式与分解前的关系模式等价，        即分解必须具有无损联接和函数依赖保持性。      2、目前分解算法的研究结论       (1) 若要求分解具有无损联接性，那么分解一定可以达到BCNF。       (2) 若要求分解保持函数依赖，那么分解可以达到3NF，           但不一定能达到BCNF。       (3) 若要求分解既保持函数依赖，又具有无损联接性，           那么分解可以达到3NF，但不一定能达到BCNF。      3、面向BCNF且具有无损联接性的分解(算法1)       输入：关系模式R及其函数依赖集F。       输出：R的一个无损联接分解，其中每一个子关系模式都满足               F在其上投影的BCNF。       算法实现：              反复运用逐步分解定理，逐步分解关系模式R，          使得每次分解都具有无损联接性，而且          每次分解出来的子关系模式至少有一个是BCNF的，            即：           1）置初值ρ={R}；           2）检查ρ中的关系模式，如果均属BCNF，则转4）；           3）在ρ中找出不属于BCNF的关系模式S，那么必有X→A∈F+，              （A不包含于X），且X不是S的关键字。因此XA必不包含              S的全部属性。把S分解为{S1，S2}，其中S1=XA，S2=(S-A)X，              并以{S1，S2}代替ρ中的S，返回2）           4）终止分解，输出ρ。       定理：算法1正确       证明：在上述算法的第3)步，        ⑴由于S1∩S2=X，S1-S2=A，而且满足X→A∈F，          S分解为{S1，S2}具有无损联接性。        ⑵由于R中的属性有限，S1和S2所包含的属性个数都有比S少，          所以经过有限次迭代，算法一定终止，ρ的每一个关系模式都满足BCNF，          由于每步分解都具有无损联接性，最后分解当然是无损联接的。       例4.5.7：           R=(ABCD,{BC→A}),分解R使分解后的关系达到BCNF且具有无损联接性。       答案：R1=(ABC, {BC→A}), R2=(BCD, {Ф})       例4.5.8：           无损联接地将CTHRSG分解为一组BCNF的关系模式，       其中：C表示课程，T表示教师，H表示时间，R表示教室，             S表示学生，G表示成绩。       函数依赖集F及其所反映的语义分别为：           C→T 每门课程仅有一位教师担任。          HT→R 在任一时间，一个教师只能在一个教室上课。          HR→C 在任一时间，每个教室只能上一门课。          HS→R 在任一时间，每个学生只能在一个教室听课。          CS→G 每个学生学习一门课程只有一个成绩。       解：1) 关系模式CTHRSG侯选关键字为：HS；              由CS不包含侯选关键字，CS→G，              分解CTHRSG为CSG和CTHRS，并求得CSG和CTHRS上函数依赖最小集：              F11=πCSG(F) ={ CS→G }              F12=πCTHRS(F)={HS→R,HT→R,C→T,HR→C}              CSR(CSG,{CS→G})(BCNF)              CTHRS(CTHRS,{HS→R,HT→R,C→T,HR→C})              ρ={CSG, CTHRS}           2) 关系模式CTHRS侯选关键字为：HS；              由C不包含侯选关键字，C→T，              分解CT为CSG和CHRS，并求得CT和CHRS上函数依赖最小集：              CT(CT,{C→T})(BCNF)              CHRS(CHRS,{HS→R,HT→R,HR→C})              ρ={CSG,CT, CHRS}           3) 关系模式CHRS侯选关键字为：HS；              由HR不包含侯选关键字，HC→R，              分解CT为CSG和CHRS，并求得CT和CHRS上函数依赖最小集：              CHR(CH,{HC→R,HR→C})(BCNF)              CHS(HS,{HS→C})(BCNF)           4) ρ={CSG,CT,CHR,CHS}

图4.5.1 算法分解树

算法1：存在两个问题：   第一、分解结果不唯一   例：最后一次分解时如果选择HR→C，       则分解的最终结果为         CSG、CT、HRC和HRS。       所以分解要结合语义和实际应用       来考虑。   第二、分解不保证是保持函数依赖的   例：TH→R未能保持，在分解后各模式的      函数依赖的并集中没有逻辑蕴涵      TH→R。

4、面向3NF且保持函数依赖的分解（算法2）          输入：关系模式R及其上的最小函数依赖集F。          输出：R的保持函数依赖的分解，其中每一个关系模式是关于F在其上投影的3NF。          算法实现：              1)如果R中存在一些不在F中出现的属性，                则将它们单独构成一个关系模式，并从模式R中消去；              2)如果F中有一个函数依赖X→A，且XA=R，则R不用分解，                算法终止；              3)对F中的每一个函数依赖X→A，构造一个关系模式XA。                如果X→A1,X→A2,…,X→An均属于F，则构造一个关系模式XA1A2…An。          定理：算法2正确(证明略）          例4.5.9：分解算法1例2关系模式CTHRSG,要保持函数依赖达到3NF。          解：关系模式CTHRSG的最小函数依赖集F={C→T,CS→G,HR→C,              HS→R,TH→R}。该模式可以保持函数依赖地分解为如下一              组3NF的关系模式：ρ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT}。       5、面向3NF既有无损联接性又保持函数依赖的分解（算法3）          输入：关系模式R及其上的最小函数依赖集F。          输出：R的具有无损联接性及保持函数依赖的分解，               其中每一个关系模式均为3NF。          算法实现：             1) 按算法2对关系模式R进行分解，设结果为σ={R1，R2，…，Rk}；             2) X是R的关键字,τ=σ∪{X}是R的一个分解。             3) 求τ式的最小集合（当Ri≤Rj∈τ时,消去Ri）。          定理：算法3正确               设X是R的关键字,则τ=σ∪{X}是R的一个分解，           且所有的关系模式均满足3NF,同时具有无损联接性和保持函数依赖性。           由于σ中全部模式均为3NF，X中属性之间不存在传递和部分函数依赖，           即X也是3NF的。分解τ具有无损联接性可以无损联接性检验算法验证。           由于X为R的关键字，表中模式X所对应的行，应用修改规则处理后，           将变成全部由а组成。         例4.5.10：                 将算法1例2的关系模式CTHRSG分解为一组3NF的关系模式，             要求分解既具有无损联接性又保持函数依赖。         解：在算法2例中得σ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT}，             而HS是原模式的关键字，所以τ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT，HS}。             由于HS是模式HSR的一个子集，所以             消去HS后的分解{CT，CSG，CHR，HSR，HRT}             就是具有无损联接性和保持函数依赖性的分解，             且其中每一个模式均为3NF。