置换群与轨道计数

群论基础

by blutrex

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群

对于集合G 和二元运算∗，若：

• 封闭性：∀f, g ∈ G，有f ∗ g ∈ G；
• 结合律：∀f, g, h ∈ G，有(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)；
• 单位元：∃e ∈ G，∀g ∈ G，有g ∗ e = e ∗ g = g；
• 逆元：∀g ∈ G，∃f ∈ G，使f ∗ g = g ∗ f = e，记作 f=g−1 f = g − 1 。

则称G 对∗ 构成一个群，记作群(G, ∗)。
根据结合律和逆元，可以证明群满足消去律：若f, g, h ∈ G，且
f ∗ h = g ∗ h 或h ∗ f = h ∗ g，则f = g。

注意：群不一定满足交换律；单位元唯一；任意元素的逆元唯
一。

群的作用

对于群(G, ∗)、集合X 和左二元关系φ : G × X → X（将
φ(g, x) 简记为g · x），若：

• 单位元：e ∈ G 为单位元，∀x ∈ X，有e · x = x；
• 兼容性：∀f, g ∈ G，∀x ∈ X，有(f ∗ g) · x = f · (g · x)。

则称G 可左作用于集合X。
根据单位元、群逆元和兼容性，可以证明群作用是一个双射，即
若g · x = y，则g 唯一。
类似可定义右作用x · g。

轨道和不动点

定义 x∈X x ∈ X 在G 的轨道为G 的元素作用于x 得到的所有结果的
集合，即

G⋅x={g⋅x|g∈G} G ⋅ x = { g ⋅ x | g ∈ G }

定义 x,y∈X x , y ∈ X 等价当且仅当

G⋅x=G⋅y G ⋅ x = G ⋅ y

所有轨道的集合为

X/G={G⋅x|x∈X} X / G = { G ⋅ x | x ∈ X }

X上 g∈G g ∈ G 的不动点的集合为作用后不变的点的集合，即

Xg={x∈X|g⋅x=x} X g = { x ∈ X | g ⋅ x = x }

置换

一个置换 g g ,其中 g[i] g [ i ] 是 1 1 到 n n 的排列，

g=(g[1],g[2],g[3]⋯g[n]) g = ( g [ 1 ] , g [ 2 ] , g [ 3 ] ⋯ g [ n ] )

置换的复合 f∘g f ∘ g 为

(f∘g)[i]=f[g[i]] ( f ∘ g ) [ i ] = f [ g [ i ] ]

置换的幂 gk g k 为 k k 个 g g 的复合。
显然置换对 ∘ ∘ 满足结合律。
对于置换 g g ，如果建一个图，从 i i 向 g[i] g [ i ] 连一条有向边，则得到的一定是若干个环（可能有自环）。每一个环，叫做置换群的一个循环节，记循环节数为 ς(g) ς ( g ) 。

置换群

G G 是置换的集合，且对 ∘ ∘ 满足群的定义（置换满足结合律，因此只需再满足封闭性、单位元、逆元即可），则称 (G,0) ( G , 0 ) 是置换群。
例如：对于一个长为 n n 的环，将其旋转 0 0 到 n−1 n − 1 格的所有操作的集合就是置换群。

群的作用

对于所有合法长度为 n n 的序列 ⟨x[i]⟩ ⟨ x [ i ] ⟩ 的集合 X X ，和长为 n n 的置换群 (G,∘) ( G , ∘ ) ，对 g∈G g ∈ G ，定义

(x⋅g)[i]=x[g[i]] ( x ⋅ g ) [ i ] = x [ g [ i ] ]

轨道计数

给定一个群 G G ，方案 x,y x , y 本质相同当且仅当 ∃g∈G,x⋅g=y ∃ g ∈ G , x ⋅ g = y ，要求本质不同的方案数。
这就是求 X X 在 G G 的轨道数，即求 |X/G| | X / G | 。
这常用Burnside引理或Pólya定理解决。

Burnside引理

Burnside引理

|X/G|=1|G|∑g∈G|Xg| | X / G | = 1 | G | ∑ g ∈ G | X g |

即轨道数等于所有置换点的不动点的平均数。

Pólya定理

对于长为 n n 的置换群 (G,∘) ( G , ∘ ) 和可作用于 G G 的长为 n n 的序列集合 Wn W n （即序列中每个元素都属于 W W ，且彼此无限制），有：

Pólya定理

|Wn/G|=1|G|∑g∈G|W|ς(g) | W n / G | = 1 | G | ∑ g ∈ G | W | ς ( g )

经典题

• 路径计数
• 环染色
• 密铺

高级群论应用

• Pólya 定理的生成函数形式
• Pólya 定理的带权生成函数形式
• 三个点本质不同的无向图计数
• 本质不同的有根三叉树计数
• 无标号环的计数

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总结（讲垃圾话）

blutrex 作为 CDQZ 优秀学长，给我们队上课好像也不是什么奇怪的事情，但第一次跟清华爷交跤♂流，深深知晓了实力的巨大差距。别人NOI银牌，THU降一本，高考还670+，或许这就是CDQZ的力量：

选择QZ，就是选择了一条艰苦奋斗的成功之路！
QZ塑造你的精神长相，你代言QZ人的理想

与各位共勉。