最大权闭合子图（RMRC2017 Open-Pit Mining）

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闭合图：对于一个有向图G，存在点集合V，任取点u属于V，u的出边的另一个点也属于V，则为闭合图。

理解：任取一起点，终点必定是无出度的点。

最大权闭合子图：当每个点有一个权值w（有正有负），点权和最大的闭合图为最大权闭合子图。

求解方法：网络流。

建立超级源点s，超级汇点t。

所有点权为正数的点i，建边 s->i，容量为点权。

所有点权为负数的点i，建边i->t，容量为点权绝对值。

原图建图后，边容量均为正无穷。

最大权闭合图的权值 = 正权点之和 - (s->t)最大流

证明：

源点s可以理解为最大可获得的权值（即正权点之和）

汇点t可以理解为最大的会损失的权值（负权点之和）

我们现在要尽量的获得s，而避免t。

然而要想选出一个最大权闭合图，选定一个点，那么这个点的所有后继子孙点，都必须选择。

因此，想拿正数，就不可避免的要取负数子孙后继点（当然子孙点是正数最好了）。

所以我们尽量选择正权点为起点，才有可能增大闭合图点集的权值和，因此我们从源点s向正权点连边（即只以正权点为起点）。

至于过程中遇到的负权点，我们让其流向t，即建立边 负权点->t的意图。

好，现在我们尽量去取正数点（直接从源点s起始），过程中遇到的负权点流向t。

现在就变成了：s->t的流量就是我们的损失。

即我们希望流向t的流量flow尽量少，而从s流出的流量sum尽量多，从s流出而没有流入t的流量（sum-flow）就是闭合图的最大权。

可能有种情况很懵逼：

若要选点，选2吧，权为-5，选1和2吧，权为-1，如果选个空点集，权为0。明显最后的选择是对的。

按照上面的思路，从s流出4，所以损失最多为4，sum-flow=0。

所以对该图就产生这么一种结论：

我选择那个1号点，和不选那个1号点，结果是相同的，我选的时候他会被损失完而已，效果等同于不选。

那不妨我一开始就把所有的正权点都给选了（满足从s流出的最多），让他们往后代流，大不了被负权子孙点损失完，而那些没有被损失完的，就是我们统计下来的结果。

那个损失，就是s->t的最大流。

得证：闭合图最大权 = 正权和sum - 最大流flow