一维线段树详解

一、线段树的概念

线段树是用于区间处理的高效的数据结构，用二叉树来进行实现。
它主要分为两个步骤：修改和查询。
查询与修改的时间复杂度为O($logn$)。

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二、线段树的构造

我们利用递归来进行构造，从区间为($1$,$n$)的下标为$1$的根开始递归。最终完成构造。
伪代码：

void push_up(int rt) //传递给父亲结点
{
    tree[rt] = tree[rt << 1] + tree[rt << 1 | 1];//左子节点，右子节点
}

void build_tree(int l, int r, int rt)//l和r代表区间，rt为根的点
{
    lazy[rt] = 0;//lazy数组的初始化，后续我们会讲到，这里是个优化
    if (l == r)//叶子节点
    {
        scanf("%d", &tree[rt]);
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build_tree(l, mid, rt << 1);//左子树
    build_tree(mid +1, r, rt << 1 | 1);//右子树
    push_up(rt);//向上传递
}

build_tree(1, n, 1);

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三、Lazy - tag 方法讲解(俗称懒标记)

主要用于区间修改问题上。

1、懒标记和未优化区间修改的对比

1. 未优化的区间修改：我们如果一个数一个数的修改，我们单点修改的时间为O($logn$)，区间修改为O​​​​​​​​​​​​​​($nlogn$)，但我们Q次操作的总复杂度为O($n^{2}logn$)。
2. 懒标记：如果[$L$,$R$]在要修改的范围[$a$,$b$]之间，则我们并不需要继续向下修改[$L$,$R$]，直接将lazy[rt]标记进行更新就可以，如果遇到下次将[$L$,$R$]的区间进行破坏时([$a$,$b$]不能完全覆盖[$L$,$R$]),我们就需要将lazy[rt]数组下方，进行下面的修改，这样可以减小时间复杂度。总体时间复杂度为O($nlogn$)。

2、我们来用图示法进行一遍演示：

原来的线段树：

修改：将[$1$,$2$]全部加上$5$

二次修改：破坏[$1$,$2$]区间，将[$1$,$1$]区间减去$1$

3、伪代码：

void push_down(int rt, int len) //lazy数组将子根进行修改
{
    if (lazy[rt])
    {
        lazy[rt << 1] += lazy[rt];
        lazy[(rt << 1) | 1] += lazy[rt];
        tree[rt << 1] += (len - (len >> 1)) * lazy[rt];
        tree[(rt << 1) | 1] += (len >> 1) * lazy[rt];
        lazy[rt] = 0;
    }
}

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四、update函数(基于区间修改)

伪代码：

void update(int a, int b, ll c, int l, int r, int rt)
{
    if (a <= l && b >= r)//区间【l,r】在【a,b】区间内，就可以调用lazy数组直接进行计算
    {
        tree[rt] += (r - l + 1) * c;
        lazy[rt] += c;
        return;
    }
    push_down(rt, r - l + 1);//查看是否需要lazy数组的下放

    int mid = (l + r) >> 1;
    if (a <= mid)//左区间
        update(a, b, c, l, mid, rt << 1);
    if (b > mid)//右区间
        update(a, b, c, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
    push_up(rt);//将子根节点的计算值更新到父根
}

五、query函数

伪代码：

int query(int a, int b, int l, int r, int rt)
{
    if (a <= l && b >= r)//区间【l,r】在【a,b】区间内
        return tree[rt];

    push_down(rt, r - l + 1);//查看是否需要lazy数组的下放

    int mid = (l + r) >> 1;
    int res = 0;
    if (a <= mid)//左区间
        res += query(a, b, l, mid, rt << 1);
    if (b > mid)//右区间
        res += query(a, b, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
    return res;
}

六、小结及题单及详解传送门

1、小结

线段树的情况复杂多样，可操作性十分强，要根据不同的题来进行修改，主要还是理解lazy数组及线段树如何使用，伪代码仅供参考，要灵活处理。

2、题单及详解传送门

未完待续…