精通八大排序算法系列:一、快速排序算法

精通大排序算法系列:一、快速排序算法

 

作者 July  二零一一年一月四日
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   写此八大排序算法系列之前,先说点题外话。
每写一篇文章,我都会遵循以下几点原则:
一、保持版面的尽量清晰,力保排版良好。
二、力争所写的东西,清晰易懂,图文并茂
三、尽最大可能确保所写的东西精准,有实用价值。

   因为,我觉得,你既然要把你的文章,公布出来,那么你就一定要为你的读者负责。
不然,就不要发表出来。一切,为读者服务。

   ok,闲不多说。接下来,咱们立刻进入本文章的主题,排序算法。
众所周知,快速排序算法是排序算法中的重头戏。
因此,本系列,本文就从快速排序开始。
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一、快速排序算法的基本特性
时间复杂度:O(n*lgn)
最坏:O(n^2)
空间复杂度:O(n*lgn)
不稳定。

快速排序是一种排序算法,对包含n个数的输入数组,平均时间为O(nlgn),最坏情况是O(n^2)。
通常是用于排序的最佳选择。因为,排序最快,也只能达到O(nlgn)。


二、快速排序算法的描述
算法导论,第7章
快速排序时基于分治模式处理的,
对一个典型子数组A[p...r]排序的分治过程为三个步骤:
1.分解:
A[p..r]被划分为俩个(可能空)的子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r],使得
A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]
2.解决:通过递归调用快速排序,对子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。
3.合并。

 

三、快速排序算法

版本一:
QUICKSORT(A, p, r)
1 if p < r
2    then q ← PARTITION(A, p, r)   //关键
3         QUICKSORT(A, p, q - 1)
4         QUICKSORT(A, q + 1, r)

数组划分
快速排序算法的关键是PARTITION过程,它对A[p..r]进行就地重排:
PARTITION(A, p, r)
1  x ← A[r]
2  i ← p - 1
3  for j ← p to r - 1
4       do if A[j] ≤ x
5             then i ← i + 1
6                  exchange A[i] <-> A[j]
7  exchange A[i + 1] <-> A[r]
8  return i + 1

 

ok,咱们来举一个具体而完整的例子。
来对以下数组,进行快速排序,
  2   8   7   1   3   5   6   4(主元)


一、

i p/j

  2   8   7   1   3   5   6   4(主元)
j指的2<=4,于是i++,i也指到2,2和2互换,原数组不变。
j后移,直到指向1..
二、
              j(指向1)<=4,于是i++
i指向了8,所以8与1交换。
数组变成了:
       i         j
  2   1   7   8   3   5   6   4
三、j后移,指向了3,3<=4,于是i++
i这是指向了7,于是7与3交换。
数组变成了:
            i         j
  2   1   3   8   7   5   6   4
四、j继续后移,发现没有再比4小的数,所以,执行到了最后一步,
即上述PARTITION(A, p, r)代码部分的 第7行。
因此,i后移一个单位,指向了8
                 i              j
  2   1   3   8   7   5   6   4
A[i + 1] <-> A[r],即8与4交换,所以,数组最终变成了如下形式,
  2   1   3   4   7   5   6   8
ok,快速排序第一趟完成。


4把整个数组分成了俩部分,2 1 3,7 5 6 8,再递归对这俩部分分别快速排序。
i p/j
  2   1   3(主元)
  2与2互换,不变,然后又是1与1互换,还是不变,最后,3与3互换,不变,
最终,3把2 1 3,分成了俩部分,2 1,和3.
再对2 1,递归排序,最终结果成为了1 2 3.

7 5 6 8(主元),7、5、6、都比8小,所以第一趟,还是7 5 6 8,
不过,此刻8把7 5 6 8,分成了  7 5 6,和8.[7 5 6->5 7 6->5 6 7]
再对7 5 6,递归排序,最终结果变成5 6 7 8。

ok,所有过程,全部分析完成。
最后,看下我画的图:

 

快速排序算法版本二

不过,这个版本不再选取(如上第一版本的)数组的最后一个元素为主元,
而是选择,数组中的第一个元素为主元。

/**************************************************/
/*  函数功能:快速排序算法                        */
/*  函数参数:结构类型table的指针变量tab          */
/*            整型变量left和right左右边界的下标   */
/*  函数返回值:空                                */
/*  文件名:quicsort.c  函数名:quicksort ()      */
/**************************************************/
void quicksort(table *tab,int left,int right)
{
  int i,j;
  if(left  {
    i=left;j=right;
    tab->r[0]=tab->r[i]; //准备以本次最左边的元素值为标准进行划分,先保存其值
    do
    {
      while(tab->r[j].key>tab->r[0].key&&i        j--;        //从右向左找第1个小于标准值的位置j
      if(i      {
        tab->r[i].key=tab->r[j].key;i++;
      }           //将第j个元素置于左端并重置i
      while(tab->r[i].keyr[0].key&&i        i++;      //从左向右找第1个大于标准值的位置i
      if(i      {
        tab->r[j].key=tab->r[i].key;j--;
      }           //将第i个元素置于右端并重置j
    }while(i!=j);

    tab->r[i]=tab->r[0];         //将标准值放入它的最终位置,本次划分结束
    quicksort(tab,left,i-1);     //对标准值左半部递归调用本函数
    quicksort(tab,i+1,right);    //对标准值右半部递归调用本函数
  }
}

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ok,咱们,还是以上述相同的数组,应用此快排算法的版本二,来演示此排序过程:
这次,以数组中的第一个元素2为主元。
  2(主)  8  7  1  3  5  6  4

请细看:
  2  8  7  1  3  5  6  4
  i->                     <-j
   (找大)               (找小)
一、j
j找第一个小于2的元素1,1赋给(覆盖重置)i所指元素2
得到:
  1  8  7     3  5  6  4
      i       j
     
     
二、i
i找到第一个大于2的元素8,8赋给(覆盖重置)j所指元素(NULL<-8)
  1     7  8  3  5  6  4
      i   <-j

三、j
j继续左移,在与i碰头之前,没有找到比2小的元素,结束。
最后,主元2补上。
第一趟快排结束之后,数组变成:
  1  2  7  8  3  5  6  4

第二趟,
        7  8  3  5  6  4
        i->             <-j
         (找大)        (找小)
 
一、j
j找到4,比主元7小,4赋给7所处位置
得到:
        4  8  3  5  6  
        i->                j
二、i
i找比7大的第一个元素8,8覆盖j所指元素(NULL)
        4     3  5  6  8
            i          j
        4  6  3  5     8
            i->       j
                 i与j碰头,结束。
第三趟:
        4  6  3  5  7  8
......
以下,分析原理,一致,略过。
最后的结果,如下图所示:
  1  2  3  4  5  6  7  8
相信,经过以上内容的具体分析,你一定明了了。

最后,贴一下我画的关于这个排序过程的图: 

  

完。一月五日补充。
OK,上述俩种算法,明白一种即可。
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五、快速排序的最坏情况和最快情况。
最坏情况发生在划分过程产生的俩个区域分别包含n-1个元素和一个0元素的时候,
即假设算法每一次递归调用过程中都出现了,这种划分不对称。那么划分的代价为O(n),
因为对一个大小为0的数组递归调用后,返回T(0)=O(1)。
估算法的运行时间可以递归的表示为:

    T(n)=T(n-1)+T(0)+O(n)=T(n-1)+O(n).
可以证明为T(n)=O(n^2)。

因此,如果在算法的每一层递归上,划分都是最大程度不对称的,那么算法的运行时间就是O(n^2)。
亦即,快速排序算法的最坏情况并不比插入排序的更好。

此外,当数组完全排好序之后,快速排序的运行时间为O(n^2)。
而在同样情况下,插入排序的运行时间为O(n)。

//注,请注意理解这句话。我们说一个排序的时间复杂度,是仅仅针对一个元素的。
//意思是,把一个元素进行插入排序,即把它插入到有序的序列里,花的时间为n。

 
再来证明,最快情况下,即PARTITION可能做的最平衡的划分中,得到的每个子问题都不能大于n/2.
因为其中一个子问题的大小为|_n/2_|。另一个子问题的大小为|-n/2-|-1.
在这种情况下,快速排序的速度要快得多。为,
      T(n)<=2T(n/2)+O(n).可以证得,T(n)=O(nlgn)。

直观上,看,快速排序就是一颗递归数,其中,PARTITION总是产生9:1的划分,
总的运行时间为O(nlgn)。各结点中示出了子问题的规模。每一层的代价在右边显示。
每一层包含一个常数c。

完。
July、二零一一年一月四日。
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请各位自行,思考以下这个版本,对应于上文哪个版本?
     HOARE-PARTITION(A, p, r)
 1  x ← A[p]
 2  i ← p - 1
 3  j ← r + 1
 4  while TRUE
 5      do repeat j ← j - 1
 6           until A[j] ≤ x
 7         repeat i ← i + 1
 8           until A[i] ≥ x
 9         if i < j
10            then exchange A[i] ↔ A[j]
11            else return j

 

   我常常思考,为什么有的人当时明明读懂明白了一个算法,
而一段时间过后,它又对此算法完全陌生而不了解了列?

   我想,究其根本,还是没有彻底明白此快速排序算法的原理,与来龙去脉...
那作何改进列,只能找发明那个算法的原作者了,从原作者身上,再多挖掘点有用的东西出来。

        July、二零一一年二月十五日更新。

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最后,再给出一个快速排序算法的简洁示例:
    Quicksort函数
void quicksort(int l, int u)
{   int i, m;
    if (l >= u) return;
    swap(l, randint(l, u));
    m = l;
    for (i = l+1; i <= u; i++)
        if (x[i] < x[l])
            swap(++m, i);
    swap(l, m);
    quicksort(l, m-1);
    quicksort(m+1, u);
}

   如果函数的调用形式是quicksort(0, n-1),那么这段代码将对一个全局数组x[n]进行排序。
函数的两个参数分别是将要进行排序的子数组的下标:l是较低的下标,而u是较高的下标。

   函数调用swap(i,j)将会交换x[i]与x[j]这两个元素。
第一次交换操作将会按照均匀分布的方式在l和u之间随机地选择一个划分元素。

   ok,更多请参考我写的关于快速排序算法的第二篇文章:一之续、快速排序算法的深入分析,第三篇文章:十二、一之再续:快速排序算法之所有版本的c/c++实现

                   July、二零一一年二月二十日更新。

 


 

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