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卡罗需－库恩－塔克条件

卡罗需－库恩－塔克条件

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在数学中，卡罗需-库恩-塔克条件（英文原名: Karush-Kuhn-Tucker Conditions常见别名: Kuhn-Tucker，KKT条件，Karush-Kuhn-Tucker最优化条件， Karush-Kuhn-Tucker条件，Kuhn-Tucker最优化条件，Kuhn-Tucker条件）是在满 足一些有规则的条件下，一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题能有最优化解法的一个必要和充分条件。这是一个广义化拉格朗日乘数的成果。

考虑以下非线式最优化问题:

\min\limits_{x}\;\; f(x)
\mbox{Subject to: }\
g_i(x) \le 0 , h_j(x) = 0

f(x)是需要最小化的函数，g_i (x)\ (i = 1, \ldots,m)是不等式约束，h_j (x)\ (j = 1,\ldots,l)乃等式约束，m和l分别为不等式约束和等式约束的数量。

不等式约束问题的必要和充分条件初见于卡罗需（William Karush）的博士论文[1]，之后在一份由W.卡（Harold W. Kuhn）及塔克（Albert W. Tucker）撰写的研讨生论文[2] 出现后受到重视。

目录

   [隐藏] 
  • 1 必要条件
  • 2 正则性条件或约束规范
  • 3 充分条件
  • 4 注释
  • 5 参考文献

[编辑]必要条件

假设有目标函数，即是要被最小化的函数f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}，约束函数g_i : \,\!\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}及h_j : \,\!\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}。再者，假设他们都是于x^*这点是连续可微的，如果x^*是一局部极小值，那么将会存在一组所谓乘子的常数\lambda \ge 0, \mu_i \ge 0\ (i = 1,\ldots,m)及\nu_j\ (j = 1,...,l)令到

\lambda + \sum_{i=1}^m \mu_i + \sum_{j=1}^l |\nu_j| > 0,
\lambda\nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \nu_j \nabla h_j(x^*) = 0,
\mu_i g_i (x^*) = 0\; \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m。

[编辑]正则性条件或约束规范

于上述必要和充分条件中，dual multiplier \lambda可能是零。当\lambda是零时，这个情况就是退化的或反常的。因此必要和充分条件会将约束的几何特性而不是将函数自身的特点纳入计算。

有一定数量的正则性条件能保证解法不是退化的（即\lambda \ne 0），它们包括:

  • 线性独立约束规范（Linear independence constraint qualification)(LICQ）:有效不等式约束的梯度（和等式约束的梯度于x^*线性独立。
  • Mangasarian-Fromowitz约束规范（Mangasarian-Fromowitz constraint qualification)(MFCQ）:有效不等式约束的梯度和等式约束的梯度于x^*正线性独立。
  • 常秩约束规范 (Constant rank constraint qualification) (CRCQ) :考虑每个有效不等式约束的梯度子集和等式约束的梯度，于x^*的邻近区域的秩（rank）不变。
  • 常正线性依赖约束规范（Constant positive linear dependence constraint qualification)(CPLD）:考虑每个有效不等式约束的梯度子集和等式约束的梯度，如果它们于x^*是正线性依赖，那么它们于x^*的邻近区域也是正线性依赖。(如果存在a_1\geq 0,\ldots,a_n\geq 0 not all zero令到a_1v_1+\ldots+a_nv_n=0，那么\{v_1,\ldots,v_n\}是正线性依赖)
  • 斯莱特条件（Slater condition）:如果问题只包含不等式约束，那么有一点x令到g_i(x) < 0 for all i = 1,\ldots,m

虽然MFCQ不等同于CRCQ，但可证出LICQ=>MFCQ=>CPLD，LICQ=>CRCQ=>CPLD。于实际情况下，较弱的约束规范会被倾向使用，这是因为较弱的约束规范能提供较强的最优化条件。

[编辑]充分条件

假设目标函数f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}及约束函数g_i : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}皆为 凸函数，而h_j : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}是一仿射函数，假设有一可行点x^*，如果有常数\mu_i \ge 0\ (i = 1,\ldots,m)及\nu_j\ (j = 1,\ldots,l)令到

\nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \nu_j \nabla h_j(x^*) = 0
\mu_i g_i (x^*) = 0\; \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m,

那么x^*这点是一全局极小值.

[编辑]注释

  1. ^ W. Karush. Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints, M.Sc. Dissertation. Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois. 1939..此论文可于以下网址得到：http://wwwlib.umi.com/dxweb/details?doc_no=7371591 (需付费)
  2. ^ Kuhn, H. W.; Tucker, A. W.. Nonlinear programming. Proceedings of 2nd Berkeley Symposium. Berkeley: University of California Press. 1951: pp. 481-492.

[编辑]参考文献

  • Avriel, Mordecai (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
  • R. Andreani, J. M. Martínez, M. L. Schuverdt, On the relation between constant positive linear dependence condition and quasinormality constraint qualification. Journal of optimization theory and applications, vol. 125, no2, pp. 473-485 (2005).

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  • C语言homework2，有一个逆序打印数字的小算法 dcj3sjt126com c
    #h1#   0、完成课堂例子 1、将一个四位数逆序打印 1234 ==> 4321 实现方法一： # include <stdio.h> int main(void) { int i = 1234; int one = i%10; int two = i / 10 % 10; int three = i / 100 % 10;
  • apacheBench对网站进行压力测试 dcj3sjt126com apachebench
       ab 的全称是 ApacheBench ， 是 Apache 附带的一个小工具 ， 专门用于 HTTP Server 的 benchmark testing ， 可以同时模拟多个并发请求。前段时间看到公司的开发人员也在用它作一些测试，看起来也不错，很简单，也很容易使用，所以今天花一点时间看了一下。 通过下面的一个简单的例子和注释，相信大家可以更容易理解这个工具的使用。
  • 2种办法让HashMap线程安全 flyfoxs javajdkjni
    多线程之--2种办法让HashMap线程安全 多线程之--synchronized 和reentrantlock的优缺点 多线程之--2种JAVA乐观锁的比较( NonfairSync VS. FairSync)     HashMap不是线程安全的,往往在写程序时需要通过一些方法来回避.其实JDK原生的提供了2种方法让HashMap支持线程安全.  
  • Spring Security（04）——认证简介 234390216 Spring Security认证过程
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  • Java 位运算 Javahuhui java位运算
    // 左移( << ) 低位补0 // 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 然后左移2位后，低位补0： // 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1000 System.out.println(6 << 2);// 运行结果是24 // 右移( >> ) 高位补"
  • mysql免安装版配置 ldzyz007 mysql
    1、my-small.ini是为了小型数据库而设计的。不应该把这个模型用于含有一些常用项目的数据库。 2、my-medium.ini是为中等规模的数据库而设计的。如果你正在企业中使用RHEL,可能会比这个操作系统的最小RAM需求(256MB)明显多得多的物理内存。由此可见，如果有那么多RAM内存可以使用，自然可以在同一台机器上运行其它服务。 3、my-large.ini是为专用于一个SQL数据
  • MFC和ado数据库使用时遇到的问题 你不认识的休道人 sqlC++mfc
    =================================================================== 第一个 =================================================================== try{ CString sql; sql.Format("select * from p
  • 表单重复提交Double Submits rensanning double
    可能发生的场景： *多次点击提交按钮 *刷新页面 *点击浏览器回退按钮 *直接访问收藏夹中的地址 *重复发送HTTP请求（Ajax） （1）点击按钮后disable该按钮一会儿，这样能避免急躁的用户频繁点击按钮。 这种方法确实有些粗暴，友好一点的可以把按钮的文字变一下做个提示，比如Bootstrap的做法： http://getbootstrap.co
  • Java String 十大常见问题 tomcat_oracle java正则表达式
    　1.字符串比较，使用“==”还是equals()? 　　"=="判断两个引用的是不是同一个内存地址(同一个物理对象)。 　　equals()判断两个字符串的值是否相等。 　　除非你想判断两个string引用是否同一个对象，否则应该总是使用equals()方法。 　　如果你了解字符串的驻留(String Interning)则会更好地理解这个问题。 　 　
  • SpringMVC 登陆拦截器实现登陆控制 xp9802 springMVC
    思路，先登陆后，将登陆信息存储在session中，然后通过拦截器，对系统中的页面和资源进行访问拦截，同时对于登陆本身相关的页面和资源不拦截。   实现方法： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
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