坐标变换及旋转矩阵

最近由于研究机器人的运动控制，所以复习和查阅了一些关于坐标系变换的资料，记录一下，以备使用。

1 空间点的坐标变换

以下公式中，规定几种标识：
1) 坐标系A用{A}表示，同理，有{B}；
2) 左上角表示所在坐标系标识，如${}^{A}p$和${}^{B}p$表示点p分别在坐标系{A}和{B}中的坐标。

1.1 平移坐标变换

${}^{A}p={}^{B}p+{}^A{p}_{B_O}$
式中：${}^A{p}_{B_O}$为{B}的原点$B_O$在{A}中的坐标。

1.2 旋转坐标变换

${}^{A}p={}^A{R}_B{}^{B}p$
式中：${}^A{R}_B$为{B}在{A}中的旋转矩阵。

1.3 复合坐标变换

${}^{A}p={}^A{R}_B{}^{B}p{+}^A{p}_{B_O}$
复合变换实际是以上平移和旋转的组合。

2 旋转矩阵

2.1 二维坐标系的旋转矩阵

二维坐标系下的旋转，比较简单，设旋转角为$\theta$，逆时针为正，有旋转矩阵：
$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$

2.2 三维坐标系的旋转矩阵

三维坐标系下的旋转需要指定两个要素：旋转轴，旋转角。因此，有不同的旋转矩阵。

2.2.1 绕坐标轴的旋转

以下三个为基本旋转矩阵：
绕X轴旋转θ的旋转矩阵
$R_X(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$
绕Y轴旋转θ的旋转矩阵
$R_Y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]$
绕Z轴旋转θ的旋转矩阵
$R_Z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
其中θ的方向确定：当旋转轴朝向被观察者时，逆时针旋转为正，即右手系统，右手攥住旋转轴，大拇指指向旋转轴箭头方向时，其它四指指的方向即为旋转正向。如图所示。

2.2.2 绕空间任意轴的旋转矩阵

给定一个单位向量$\hat{K}=(k_x,k_y,k_z)$，有$k_x^2+k_y^2+k_z^2=1$，以这个单位向量$\hat{K}$为旋转轴，旋转$\theta$角的旋转矩阵为：
$$R_{\hat{K}}(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta +k_x^2(1-cos\theta )& k_x{k}_y(1-cos\theta )-k_{z}sin\theta & k_x{k}_z(1-cos\theta )+k_{y}sin\theta \\ k_y{k}_x(1-cos\theta )+k_{z}sin\theta & cos\theta +k_y^2(1-cos\theta )& k_y{k}_z(1-cos\theta )-k_{x}sin\theta \\ k_z{k}_x(1-cos\theta )-k_{y}sin\theta & k_z{k}_y(1-cos\theta )+k_{x}sin\theta & cos\theta +k_z^2(1-cos\theta )\end{array}\right]$$
$\theta$的旋转方向也遵守前述的右手系统。
实际上，前面讲的三个绕坐标轴的基本旋转矩阵是以上公式的三个特例。
这个公式也可由以上的三个基本旋转矩阵推导而来，其基本思想是把绕任意单位向量的旋转分解为几个已知的动作：
1) 首先旋转给定向量轴到位于任意一个坐标平面内（XY、YZ或ZX）；
2) 然后旋转这个给定向量轴与刚才这个坐标平面内的一个轴重合（X、Y或Z）；
3) 利用以上的三个基本旋转矩阵，绕与之重合的这个坐标轴旋转相应的角度$\theta$；
4) 反向做2)步骤的工作；
5) 反向做1)步骤的工作。
具体推导过程可见其它材料。

2.3 旋转矩阵的特性

$R^T=R^{-1}$，即旋转矩阵的转置等于旋转矩阵的逆。旋转矩阵为正交矩阵，同一行、列元素的平方和=1；不同行、列元素对应乘积的和=0；矩阵行列式=1。旋转矩阵的9个元素是线性相关的。

3 多次旋转的组合

一次空间旋转，可以分解为多次旋转的组合，实际上就是多次用不同的旋转矩阵来叉乘，多次旋转矩阵组合时，要注意：矩阵与矩阵的叉乘，或者矩阵与向量的叉乘，满足结合律，但一般不满足交换律，因此，要注意旋转矩阵的顺序。