贪心算法之活动选择理解

一.活动选择事例

二.例题分析

1、定义子问题
采用动态规划的方法：

2、寻找最优子结构：
假设已经找到问题Sij最大兼容活动集Aij，如果Aij中包含Ak（属于某一活动）。则可以将Sij分成两个子问题Sik和Ak和Skj。此时Sik和Skj的最大兼容活动集Aik和Akj一定被Aij使用。因为如果Aij没有使用Aik和Akj的话，那么它使用的就是Sik，Skj非最大兼容子集。那么就与我们假设的Aij为最大兼容子集相悖。
3、重叠子：
与《动态规划之矩阵链乘法理解》一样，我们不知道k具体是多少，所以我们要对i~j遍历赋值给k才能找出。而遍历过程中要重复处理相同子问题。
4、自底向上方法：
如果使用动态规划的方法的话，我们就需要从最小子问题逐渐增大来完成所有子问题的处理：
将从子问题个数为2开始，像先前划分矩阵链一样划分，选择出活动只有两个时的最优A12，A23,A34~~，然后把活动分成3、4、5、6~~长度，逐渐增大子问题长度，求解最优解（在这过程中注意使用上先前已经求解的子问题）。

三.动态规划到贪心算法的转变

首先需要申明贪心算法对大多数优化问题能够产生最优解，但并不是对所有问题。

证明2：如果将问题Sij（已按照结束时间从小到大排列）在am处划分，将问题Sij划分成Sim和Smj，由于Sim已经按照结束时间排序，那Sim为空集（里面没有活动），子问题Smj为唯一可能的非空子问题（Smj是Sij除掉一个最早结束时间活动的结果，其中包含活动数除Sij最大）。
证明1：假设Aij（最大兼容子集）中包含了am，那么显然得证。如果Aij中没有am呢？此时我们构建另一个子集A：它是包含（Aij）后减去（Aij中最早结束活动ae）+（am）。此时因为am比ae结束更早，而ae又是Aij中最早结束活动，那么am就不会与Aij中活动产生冲突。那么A包含的活动数并不少于Aij，那么A就是问题Sij的另一个最大兼容子集。且A中包含am。此时Aij和A都是最大兼容子集。这里也说明贪心算法的最优解只是其中一个。
理解：
贪心算法更像是不再循环k值，直接把问题Sij在最早结束活动那里划分成两个子问题（其中一个子问题还为空），这样我们就不需要考虑Sim（空集），只需考虑Smj，减少计算。而且这样做我们就可以自顶向下考虑。从最大问题，逐渐缩小子问题。

四.代码

图解过程：

看我画的两个红色矩形。如果两个方块代表两个活动。原题中按照算法的话会选择a1，但是如果不按照算法来，先选择第一红色矩形，那么选择的第二个就是第二个红色矩形，后面的选择跟原题一样。但是改变初始选择后，算出来的最大兼容子集明显比原来大1。所以说贪心算法得到的不一定是最优解。