3D数学基础——四元数的介绍
四元数
四元数是由哈密顿在1843年爱尔兰发现的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到
i² = j² = k² = ijk = -1
的方程解。之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。
不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个标量部为零的四元数相乘，所得的标量部便是原来的两个向量部的标量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。
四元数的记法
一个四元数包含一个标量分量 和 一个3D向量分量，经常记标量分量为 w，记向量分量为 单一的 V 或者 （x, y, z):
[w,V] 或 [ w, x, y, z]
四元数与复数
四元数扩展了复数系统，一个四元数【w,(x,y,z)】定义了复数 w + xi + yj + zk；它使用3个虚部 i, j, k 关系如下：
i^2 = j^2 = k^2 = -1
ij = k, ji = -k
jk = i, kj = -i
ki = j,ik = -j
四元数和轴—角对
四元数中的数和 旋转轴 和 角度的关系：
单位四元数
几何上，存在两个“单位”四元数，他们代表没有角位移：【1，（0，0，0）】和 【-1，（0，0，0）】；当角度是360的偶数倍时，对应【1，（0，0，0）】；当角度是360的奇数倍时，对应于【-1，（0，0，0）】；它的意义在于：
当旋转角是360的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。
数学上，实际只有一个单位四元数：【1，（0，0，0）】，任何四元数q乘以这个单位四元数的结果还是其本身q；而乘以【-1，（0，0，0）】得到的却是-q，数学上 q 和 -q 并不相等，但是在几何上，q 和 -q 代表的角位移相同。
四元数的模
当旋转轴为单位向量时：
四元数共轭和逆
四元数的共轭是通过让四元数的向量部分变负来获得：
四元数的逆定义为 四元数的共轭除以它的模：
一个四元数q 乘以 它的逆，即可得到单位四元数【1，（0，0，0）】
四元数q 与 它的共轭 q* 具有相反的角位移，因为共轭是向量取反，即颠倒了旋转的方向；当然也可理解位另一定义：w 取反，v不变
四元数的乘法（叉乘）
四元数相乘的公式：
四元数的叉乘满足结合律，但是不满足交换律：
四元数乘积的模等于模的乘积：
四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘：
一个标准的3D点（x,y,z）到四元数空间，通过定义四元数p【0，（x,y,z）】即可；设 q 为旋转四元素形式 【cos(a/2),nsin(a/2)】,n 为旋转轴，单位向量； a 为 旋转角度，下面乘法为 3D点 p 绕 n 旋转：
3D点多次旋转（先 a ,后 b），等价于执行ba 乘积代表的单一旋转：
四元数差
四元数的差被定义为从一个方位到另一个方位的角位移：
ad = b
四元数点乘
四元数的点乘和 向量的点乘类似，四元数的点乘的绝对值越大，两个四元数代表的角位移就越相似。
四元数的对数、指数和标量乘运算
四元数的对数运算：
四元数的指数运算：
p = [0 an] = [0 (ax,ay,az)]
||n|| = 1
四元数求幂
四元数求幂可以从角位移抽取“一部分”，如：四元数q代表一个角位移，想要得到1/3 的这个角位移的四元数，可以这样计算：
q^(1/3)
四元数表达角位移时使用最短圆弧，不能绕圈；比如q为绕x轴顺时针旋转60°，那么q^4 并不是绕x轴顺时针旋转240°，而是逆时针旋转120°。
四元数求幂：
//四元数求幂代码块
float w,x,y,z;
float exponent;
if(fabs(w) > 0.9999f){
float alpha = acos(w);//alpha = theta *0.5
float newAlpha = alpha * ecponent;
w = cos(newAlpha);
//这里的思想是原始的 x = n sin(alpha) ,利用 n 旋转轴是保持不变的，来求新的x,y,z
float mult = sin(newalpha) / sin(alpha);
x *= mult;
y *= mult;
z *= mult;
}
四元数插值——slerp
slerp的基本思想是沿着4D球面上连接两个四元数的弧插值；可以把这种思想表现在平面上，如下第一张图中显示，两个2D向量 v0 ，v1 都是单位向量，w为两个向量弧所截的角，t为插值参数，在0~1之间变化；所以 vt可以表示为图2显示的线性组合：
由于v0、v1是单位向量，利用三角公式可以计算出：
k0 = sin(（1-t）w ) / sinw
k1 = sintw / sin w
Vt 可以表示为：
将同样的思想扩展到四元数，可得到四元数的slerp插值公式：
四元数q 和 -q 代表相同的方位，但他们作为slerp的参数时可能导致不一样的结果，这是因为4D球面不是欧氏空间的直接扩展，解决方法是选择q0 和 q1的符号使得点乘的结果非负 ？
如果 q0 和 q1 非常接近，sinw的 值非常小，这时候除法会出现问题，为了避免这个问题，当sinw很小时，才用线性插值。
//四元数 slerp 实现的代码段
float w0,x0,y0,z0;
float w1,x1,y1,z1;
float t;
float w,x,y,z;
//用点乘计算两个四元数夹角
float cosOmega = w0*w1 + x0*x1 + y0*y1 + z0*z1;
//如果为负，需要反转一个四元数
if(cosOmega < 0.0f)
{
w1 = -w1;
x1 = -x1;
y1 = -y1;
z1 = -z1;
cosOmega = -cosOmega;
}
float k0,k1;
//当sinOmega 很小的时候，做线性插值
if(cosOmega > 0.9999f)
{
k0 = 1.f - t;
k1 = t;
}else
{
float sinOmega = sqrt(1.f - cosOmega*cosOmega);
float omega = atan2(sinOmega,cosOmega);
float oneOverSinOmega = 1.f / sinOmega;
k0 = sin( (1.f - t)* omega) * oneOverSinOmega;
k1 = sin(t*omega) * oneOverSinOmega;
}
w = w0 * k0 + w1 * k1;
x = x0 * k0 + x1 * k1;
y = y0 * k0 + y1 * k1;
z = z0 * k0 + z1 * k1;
四元数样条——squad