旋转矩阵

在跑代码的时候，遇到一个问题是对训练图像数据做旋转（数据增强），以前的训练代码转就转了，一句代码 imrotate 就能搞定，但是目前自己跑的方法中，CNN 的输入还有图像中曲线的控制点坐标矩阵，图像旋转了就必须对坐标矩阵也做出相应的处理，要求出旋转 angle 角度以后原来的控制点所在的新坐标。

解决方案：使用 旋转矩阵。通过旋转矩阵，可以在知道原坐标的情况下，通过乘一个旋转矩阵，得到旋转 angle 度之后的新坐标。

旋转在二维中是绕着某一个点旋转，在三维中是绕着某个轴旋转。

二维旋转

绕原点的二维旋转

设：初始点 $v$ 绕原点旋转 $\theta$ 角度，得到点 $v^{\prime }$，已知 $v$ 点坐标为 $(x,y)$，$v$ 点到原点距离为 $r$，原点到 $v$ 点的向量与 $x$ 轴夹角为 $\varphi$，则：
$$\begin{gathered} x=rcos\varphi \\ y=rsin\varphi \\ {x}^{\prime }=rcos(\theta +\varphi ) \\ {y}^{\prime }=rsin(\theta +\varphi ) \end{gathered}$$
由三角展开式：$cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB$ 及 $sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB$ 知：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=rcos\theta cos\varphi -rsin\theta sin\varphi \\ {y}^{\prime }=rsin\theta cos\varphi +cos\theta sin\varphi \end{gathered}$$
将 $x$、$y$ 带入得：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=xcos\theta -ysin\theta \\ {y}^{\prime }=xsin\theta +ycos\theta \end{gathered}$$
写成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}cos\theta -sin\theta \\ sin\theta cos\theta \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}xy\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}cos\theta sin\theta \\ -sin\theta cos\theta \end{array}\right]$$
尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。

绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，需要绕任意点旋转时，可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：

1. 将旋转点移动到原点处
2. 执行绕原点的旋转
3. 再将旋转点移回原本的位置

也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作

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参考：
https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125