卡特兰数及其使用典型例子

卡特兰数是一个常用在计数情况中使用的一种特殊的数列，其原理如下：

一、原理

若令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)（可以写成通式：

)

例：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

二、通解

递推公式的通解:h(n)=C(2n,n)/n+1(或者C(2n,n)-C(2n,n+1)))

三、常用案例

1.求出栈次序

例：有一进栈顺序e1、e2、e3、e4、e5，求有多少可能的出栈序列。

分析：假设我们要求的出栈数为n，要得到的出栈序列为f(n)，我们知道，因为入栈的顺序是确定的，假设入栈顺序记为1、2、3、4、5...n，那么假设最后出栈的那个数为第k个数，那么我们要求f(k)时，k-1个数已经先完成进栈出栈，此时有f(k-1)种方式，然后k之后的n-k个数也完成进栈和出栈，也就是f(n-k)种方式，最后第k个数出栈，此时的f(k)=f(k-1)*f(n-k),而每个数都可能是最后出栈的，也就是k的取值范围是从1到n，满足卡特兰数通式:

把n=5，带入公式即可求得f(5)=42

2.凸多边形划分

问题描述：在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

思路：因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。

3.给定节点生成二叉树

给定n个节点，求能生成多少个不同形状的二叉树？

和第一个问题类似，如法炮制，很容易可以看得起满足f(0)=1，f(1)=1的卡特兰数