在我们学习矩阵理论和统计理论的时候,总是会出现“**空间”。在之前的时候对于空间理解的过程中,总是试图拿出一个具体的例子来加深自己的理解。但是这样做是不对的,因为如果说对于类似“欧几里何空间”这样的空间,跟我们生活中的三维空间极为相似,我们确实可以想象到一个具体的例子,但是对于类似“希尔伯特空间”之类的,我们很难用一个具体的实例来印证。所以,“**空间”到底是个什么东西呢?
很感谢交大王老师的公开课“数学之旅”,通俗地解释了空间到底是个什么东西。附上链接:《数学之旅》——王维克。
下面我们从简单的距离空间开始,先理解空间是什么。
一、距离空间(度量空间)
从初中就开始学习“距离”的概念,我们总是想到这样一个情景:在三维坐标(空间)中有两个点(),则距离:
(1)
而距离所组成的空间是什么?我们能够用上式来理解距离空间吗?答案是最好不要。因为距离不只有形如上式(1)的直线距离,还有航海时的球面距离,还有路径中的折线距离等等。如下图:实际中我们从A到B的距离是折线距离。
对于距离,我们分别可以这样定义:
折线距离
最大距离
既然是这样,我们应该如何去理解“距离空间”这个概念呢?为了便于理解,我们来举另外一个例子:字典中对苹果、水果的解释:
苹果 | 双子叶植物,蔷薇科。落叶乔木。花淡红或淡紫红色。大多自花不孕,需异花授粉。果实由子房和花托发育而成。果肉清脆香甜,能帮助消化。 |
水果 | 供食用的含水分较多的植物果实的统称。为家庭或待客常用的果品。如梨﹑桃﹑苹果等。 |
热带水果 |
换句话说,苹果是一个具体的东西,因此我们可以用具体的表述来描述;而水果是一个抽象的集合,因此我们描述空间的时候,只能用其通用的属性。类比起来,苹果就好像是我们说的直线距离,而距离空间就是水果。这是一个抽象的东西,因此我们用这个集合中的元素所共有的属性来定义。空间中的元素,通俗来说交空间中的点。
所以我们可以这样来定义距离空间:
设X是非空集合,对于X中任意的两个元素x与y,按某一法则都对应唯一的实数d(x,y),而且满足下述三条公理:
(1)(非负性)d(x,y)≥0,[d(x,y)=0,当且仅当x=y];
(2)(对称性)d(x,y)=d(y,x);
(3)(三角不等式)对于任意的x,y,z∈X,恒有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
则称d(x,y)为x与y的距离,并称X是以d为距离的距离空间。
二、线性空间(向量空间)
线性空间即定义了数乘和加法的空间,就是具有线性结构的空间。 有了线性空间的概念之后,因为有数乘和加法,所以空间中可以找到一组基底(Basis)能够通过线性组合得到空间中所有的点。并且满足八项规则(交换律、结合律等)。
三、范数空间(赋范空间)
设是
的范数,满足:
(1)(非负性)
(2)
(3)(三角不等式)对于任意的x,y,z∈X,恒有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
我们看到,如果把范数看做到原点的距离,那么范数空间,在距离空间的基础上,再加一个条件。(这就好像是在水果的基础上,再加一个条件:产于热带,就变成了热带水果)。也就是说,我们可以通过范数来定义距离,但是不能通过距离来定义范数d(x,y) = ||x-y||。
如:(1) 对应直线距离。
(2) 对应折线距离
四、线性赋范空间、线性度量空间
线性赋范空间(和线性度量空间),即是在赋范空间(和度量空间、距离空间)的基础上,再加一个条件:线性结构。
五、内积空间
到上面为止,还不是我们所看到的空间,因为虽然范数代表了向量的长度,但是还没有角度。所以我们需要引入角度的概念,借助内积。
设K是实数域或复数域,H是K上线性空间,如果对H中任何两个向量x,y,都对应着一个数(x,y)∈K,满足条件:
1.(共轭对称性)
2.(对第一变元的线性性)对任何x,y,z∈H及α,β∈K,有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).
3.(正定性)对一切x∈H,有(x,x)≥0且(x,x)=0⇔x=0
到现在为止,内积空间就是我们通俗意义上所认识的空间,也叫作欧几里何空间(有限维的内积空间)。在这个空间上,我们可以提出向量的投影等运算。
六、巴拿赫空间和希尔伯特空间
说到这,我们再说一个概念,交完备性。也即是在取极限的时候,不会跑出去这个空间,就叫做空间的完备性。比如实数集是完备的,而有理数集是不完备的。有理数数列取极限可能是无理数。
赋范空间+完备性=巴拿赫空间
内积空间(无限维)+完备性=希尔伯特空间
换个角度来理解函数空间,如泰勒展开,是将f(x)表示为{}的线性组合的形式;比如傅里叶展开,是将f(x)表示成无限三角函数线性组合的形式。而{
}或无限维的三角函数,也叫作一个函数空间的基。
七、拓扑空间
以上都是距离或者线性空间的基础上逐渐增加条件,那如果尝试减少条件呢?比如不要角度的概念,甚至不要距离的概念。比如“连续”的定义:对所有的即为连续。或者写成
。
。
换句话说,拓扑是元素X与其规则合起来。所以,拓扑是弱化了的距离,能描述的范围最广泛。
举例,如果距离是水果,范数是热带水果,那么拓扑就是植物。