高等数学：一元函数积分学

定义：

不定积分定义：

定积分定义：

注意区别：不定积分是一族函数，他又很多个函数，但是定积分呢？它就只有一个函数，并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。

另外千万搞清楚，不定积分是函数，而定积分是一个确定的数，因为梯形的面积一定是确定的嘛 

定积分和不定积分的联系：牛顿莱布尼兹公式：

积分的计算：

四大基本积分法：

1.凑微分法

基本积分公式：

积分的计算技巧：

当遇见复杂的式子计算积分，那么我们可以这样，先对复杂部分的式子求导，然后再凑微分。

2.换元法：

当凑微分法不成功时，考虑换元法。所以我们一般先考虑凑微分，然后是换元法。

记住一点：换元千万别忘了回带。

第一种：三角换元

第二种：倒代换 

第三种：复杂部分代换

3.分部积分法：

分部积分法一般是两个不同类型的函数相乘而来的式子，这个时候我们一般用分部积分法。

我们在选取那个当v和那个当u，总结了下面这个式子。

相对而言，更易求导的做u，更易积分的做v。

推广式子：

当我们碰见有些题目的时候，往往一次分部积分法是搞不定的，这个时候要多次分部积分，还是比较麻烦和繁琐的，所以就使用下面这种通式的形式，一步到位。

如何使用表格发来记忆呢？ 我们可以像下面这样。

他一共有下面四个步骤：

 

实际上我们在解题的时候会有这样的疑问：使用表格法，我们应该求导或者积分到哪一项为止呢？我们对于上面的三种情况有三种结论。

有理函数积分法：

定积分的计算：

这里有个注意点，当我们在使用换元法求定积分的时候，我们要换三个地方，一个是上下限要换，二是被积函数要换，积分元素要换。

另外，换元之后，其自变量的范围始终不能超过原来自变量的范围！这一点很重要，一定要切记。

点火公式：

对于这种式子类型的定积分计算，我们可以使用点火公式：

就是上面这种式子的时候，我们可以直接使用下面这个结论。 当然，上面的这个式子中的sin也可以是cos，他们都可以用点火公式。

需要我们记住的一个定理:

下面这个是华里士公式的另外一个式子：

一元函数积分学的应用：

数一的范围：知道怎么求空间曲面体的体积、面积、以及能够写出这个曲面体的函数

第一种：求曲边梯形的面积。

这种一般是套用公式，杂糅进来了前面微分和极限的知识一起考查。

第二种：用积分表达式计算旋转体的体积。

绕着x轴旋转的：

绕着y轴旋转的：

第三种：用积分表达和计算函数的平均值：