数据结构笔记（最小生成树）

一、最小生成树（MST）

生成树的代价：设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。
最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。
性质：假设G=(V, E)是一个无向连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。
构造最小代价生成树
两种方法：
Prime法：加点法
Kruskal方法：加边法
注意：当连通图中各边权值不相等时，最小生成树唯一；当有相等的权值时最小生成树可能唯一可能不唯一，具体情况具体分析。

二、普里姆（Prim）算法

（一）基本思想：
设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网，
T=(U, TE)是G的最小生成树，
T的初始状态为U={u0}（u0∈V），TE={ }，
重复执行下述操作：
在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。
数组lowcost[n]：用来保存集合V-U中各顶点与集合U中顶点最短边的权值，lowcost[v]=0表示顶点v已加入最小生成树中；
数组adjvex[n]：用来保存该边所依附的（集合V-U中各顶点与集合U中顶点的最短边）集合U中的顶点。
（二）Prim算法——伪代码

1. 初始化两个辅助数组lowcost（=arc[0][i]）和adjvex(=0)(0是始点)；
2. 输出顶点u0，将顶点u0加入集合U中；
3. 重复执行下列操作n-1次
   3.1 在lowcost中选取最短边(lowcost[k])，取对应的顶点序号k；
   3.2 输出顶点k和对应的权值；
   3.3 将顶点k加入集合U中（lowcost[k]=0）；
   3.4 调整数组lowcost和adjvex；

Void prime(MGraph G){
    for(int i=1;i<G.vertexNu;i++){
        lowcost[i]=G.arc[0][i];  adjvex[i]=0;
    }
    lowcost[0]=0;
    for(i=1;i<G.vertexNum;i+++){
        k=MinEdge(lowcost,G.vertexNum)
        cout<<K<<adjvex[k]<<lowcost[k];
        lowcost[k]=0;
        for(j=1;j<G.vertexNum;j++)
          if((G.arc[k][j]<lowcost[j]){
              lowcost[j]=G.arc[k][j];
              arcvex[j]=k;
           }
    }
}

三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

（一）基本思想：
1、设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，
2、然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。
（1）若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；
（2）若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，
3、如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。
（二）算法思想：

1. 初始化：U=V； TE={ }；
2. 循环直到T中的连通分量个数为1
   2.1 在E中寻找最短边(u，v);
   2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量，则
   2.2.1 将边(u，v)并入TE；
   2.2.2 将这两个连通分量合并为一个；
   2.3 在E中标记边(u，v)，使得(u，v)不参加后续最短边的选取；
   （三）边集数组
   方法：利用两个一维数组；一个数组存储顶点信息，另外一个数组存储边及其权
   数组分量包含三个域：边所依附的两个顶点，权值
   各边在数组中的次序可以任意。
   1、边集数组的实现

Struct edge
{ 
    int i；
    int j;
    int weight;
}

2、将邻接矩阵转化成边集数组

edge edges[M];//边的数据结构类型的变量
 for ( i = 0; i < G->vexnum; i++) { 
	 for (j = 0; j <= G->vexnum; j++)  {
	    if (G->arc[i][j] == 1)   {
	  	    edges[k].begin = i;
  	  	    edges[k].end = j;
	          // edges[k].weight = G->arc[i][j];
               k++;
         }
     }
 }

（四）Kruskal算法实现中的三个关键问题
1、图的存储结构
采用边集数组存储图。
2、如何判断一条边所依附的两个顶点在同一个连通分两中(并查集)
定义Parent[i]数组。数组分量的值表示顶点i的双亲节点（初值为-1；）
当一条边（u,v）的两个顶点的根结不同时，这两个结点属于不同的连通分量（利用parent 数组查找一棵树的根节点。当一个结点n的parent==-1，树的根节点即为n）
3. 如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量中
要进行联通分量的合并 ，其中一个顶点所在的树的根节点为vex1，另一个顶点所在的树的根节点为vex2，则：parent[vex2]=vex1；

int Find(int *parent, int node)
{
	int f;
	f=node;
	while(parent[f]>-1)
		f=parent[f];
	return f;
}
int main(){
    int arcNum, int vertexNum;
    EdgeNode *edge;
    int *parent;

    cout<<"please input the number of vertexNum:"; cin>>vertexNum;
    cout<<"please input the number of edges:";	cin>>arcNum;
    edge=new EdgeNode[arcNum];	parent=new int[vertexNum];
    for(int i=0;i<arcNum;i++)	{
 	cout<<"Please input the edges:";
	cin>>edge[i].from>>edge[i].to>>edge[i].weight;
    }
    sort(edges, G); //对边集数组进行堆排序，时间复杂性为O(eloge)
    for (i=0;i<vertexNum;i++)
	parent[i]=-1;  //每个节点分属于不同的集合

    int k=0,begin,end,count=0;
    cout<<"next is the MST :"<<endl;
	 for (k=0;k<arcNum;k++)	{
         begin=edge[k].from;	end=edge[k].to;	
         int m,n;
        m=Find(parent,begin);	n=Find(parent,end);
        if(m!=n)	{
            cout<<begin<<","<<end<<","<<edge[k].weight<<endl;
            parent[n]=m;	
            count++;
            if(count==vertexNum-1)	break;
       }
   }
   return 0;
}