数据结构笔记(最小生成树)

一、最小生成树(MST)

生成树的代价:设G=(V,E)是一个无向连通网,生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。
最小生成树:在图G所有生成树中,代价最小的生成树称为最小生成树。
性质:假设G=(V, E)是一个无向连通网,U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。
构造最小代价生成树
两种方法:
Prime法:加点法
Kruskal方法:加边法
注意:当连通图中各边权值不相等时,最小生成树唯一;当有相等的权值时最小生成树可能唯一可能不唯一,具体情况具体分析。

二、普里姆(Prim)算法

(一)基本思想:
设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网,
T=(U, TE)是G的最小生成树,
T的初始状态为U={u0}(u0∈V),TE={ },
重复执行下述操作:
在所有u∈U,v∈V-U中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE,同时v并入U,直至U=V。
数组lowcost[n]:用来保存集合V-U中各顶点与集合U中顶点最短边的权值,lowcost[v]=0表示顶点v已加入最小生成树中;
数组adjvex[n]:用来保存该边所依附的(集合V-U中各顶点与集合U中顶点的最短边)集合U中的顶点。
(二)Prim算法——伪代码

  1. 初始化两个辅助数组lowcost(=arc[0][i])和adjvex(=0)(0是始点);
  2. 输出顶点u0,将顶点u0加入集合U中;
  3. 重复执行下列操作n-1次
    3.1 在lowcost中选取最短边(lowcost[k]),取对应的顶点序号k;
    3.2 输出顶点k和对应的权值;
    3.3 将顶点k加入集合U中(lowcost[k]=0);
    3.4 调整数组lowcost和adjvex;
Void prime(MGraph G){
    for(int i=1;i<G.vertexNu;i++){
        lowcost[i]=G.arc[0][i];  adjvex[i]=0;
    }
    lowcost[0]=0;
    for(i=1;i<G.vertexNum;i+++){
        k=MinEdge(lowcost,G.vertexNum)
        cout<<K<<adjvex[k]<<lowcost[k];
        lowcost[k]=0;
        for(j=1;j<G.vertexNum;j++)
          if((G.arc[k][j]<lowcost[j]){
              lowcost[j]=G.arc[k][j];
              arcvex[j]=k;
           }
    }
}

三、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

(一)基本思想:
1、设无向连通网为G=(V, E),令G的最小生成树为T=(U, TE),其初态为U=V,TE={ },
2、然后,按照边的权值由小到大的顺序,考察G的边集E中的各条边。
(1)若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量,则将此边作为最小生成树的边加入到T中,同时把两个连通分量连接为一个连通分量;
(2)若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量,则舍去此边,以免造成回路,
3、如此下去,当T中的连通分量个数为1时,此连通分量便为G的一棵最小生成树。
(二)算法思想:

  1. 初始化:U=V; TE={ };
  2. 循环直到T中的连通分量个数为1
    2.1 在E中寻找最短边(u,v);
    2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量,则
    2.2.1 将边(u,v)并入TE;
    2.2.2 将这两个连通分量合并为一个;
    2.3 在E中标记边(u,v),使得(u,v)不参加后续最短边的选取;
    (三)边集数组
    方法:利用两个一维数组;一个数组存储顶点信息,另外一个数组存储边及其权
    数组分量包含三个域:边所依附的两个顶点,权值
    各边在数组中的次序可以任意。
    1、边集数组的实现
Struct edge
{ 
    int i;
    int j;
    int weight;
}

2、将邻接矩阵转化成边集数组

edge edges[M];//边的数据结构类型的变量
 for ( i = 0; i < G->vexnum; i++) { 
	 for (j = 0; j <= G->vexnum; j++)  {
	    if (G->arc[i][j] == 1)   {
	  	    edges[k].begin = i;
  	  	    edges[k].end = j;
	          // edges[k].weight = G->arc[i][j];
               k++;
         }
     }
 }

(四)Kruskal算法实现中的三个关键问题
1、图的存储结构
采用边集数组存储图。
2、如何判断一条边所依附的两个顶点在同一个连通分两中(并查集)
定义Parent[i]数组。数组分量的值表示顶点i的双亲节点(初值为-1;)
当一条边(u,v)的两个顶点的根结不同时,这两个结点属于不同的连通分量(利用parent 数组查找一棵树的根节点。当一个结点n的parent==-1,树的根节点即为n)
3. 如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量
要进行联通分量的合并 ,其中一个顶点所在的树的根节点为vex1,另一个顶点所在的树的根节点为vex2,则:parent[vex2]=vex1;

int Find(int *parent, int node)
{
	int f;
	f=node;
	while(parent[f]>-1)
		f=parent[f];
	return f;
}
int main(){
    int arcNum, int vertexNum;
    EdgeNode *edge;
    int *parent;

    cout<<"please input the number of vertexNum:"; cin>>vertexNum;
    cout<<"please input the number of edges:";	cin>>arcNum;
    edge=new EdgeNode[arcNum];	parent=new int[vertexNum];
    for(int i=0;i<arcNum;i++)	{
 	cout<<"Please input the edges:";
	cin>>edge[i].from>>edge[i].to>>edge[i].weight;
    }
    sort(edges, G); //对边集数组进行堆排序,时间复杂性为O(eloge)
    for (i=0;i<vertexNum;i++)
	parent[i]=-1;  //每个节点分属于不同的集合

    int k=0,begin,end,count=0;
    cout<<"next is the MST :"<<endl;
	 for (k=0;k<arcNum;k++)	{
         begin=edge[k].from;	end=edge[k].to;	
         int m,n;
        m=Find(parent,begin);	n=Find(parent,end);
        if(m!=n)	{
            cout<<begin<<","<<end<<","<<edge[k].weight<<endl;
            parent[n]=m;	
            count++;
            if(count==vertexNum-1)	break;
       }
   }
   return 0;
}

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