《数学建模算法与应用》——学习笔记chapter2. 整数规划
1. 概论
1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。
1.2 分类
整数线性规划模型大致可分为两类：
- 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
- 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 特点
- 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：
① 原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
② 整数规划无可行解。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 - 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法
- 分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划
- 割平面法—可求纯或混合整数线性规划
- 隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法；
②分枝隐枚举法。 - 匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）
- 蒙特卡洛法—求解各种类型规划
2. 分支定界法
设有最大化的整数规划问题 A A A，与它相应的线性规划为问题 B B B，从解问题 B B B开始，若其最优解不符合 A A A的整数条件，那么 B B B的最优目标函数必是 A A A的最优目标函数 z ∗ z^* z∗的上界，记作 z ^ \hat z z^；而A的任意可行解的目标函数值将是 z ∗ z^* z∗的一个下界 z ‾ \underline z z。分枝定界法就是将 B B B的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z ˉ \bar z zˉ和增大 z ‾ \underline z z ，最终求到 z ∗ z^* z∗。
得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：
- 解问题 B 可能得到以下情况之一：
a. B B B没有可行解，这时 A A A也没有可行解，即规划问题无解。
b. B B B有最优解，并符合问题 A A A的整数条件， B B B的最优解即为 A 的最优解。
c. B B B有最优解，但不符合问题 A A A的整数条件，记它的目标函数值为 z z z。 - 用观察法找问题 A 的一个整数可行解，一般可取0，求得其目标函数值，并记作 z ‾ \underline z z 。以 z ∗ z^* z∗表示问题 A 的最优目标函数值；这时有 z ‾ ≤ z ∗ ≤ z ˉ \underline z\leq z^*\leq\bar z z≤z∗≤zˉ
进行迭代。
第一步：分枝，在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j x_j xj，其值为 b j b_j bj， 以 [ b j ] [b_j] [bj]表示小于 b j b_j bj的最大整数。构造两个约束条件
x j ≤ [ b j ] x_j\leq[b_j] xj≤[bj]和 x j ≥ [ b j ] + 1 x_j\geq[b_j]+1 xj≥[bj]+1
将这两个约束条件，分别加入问题 B B B，求两个后继规划问题 B 1 B_1 B1 和 B 2 B_2 B2。不考虑整数条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 z ˉ \bar z zˉ。从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 z ‾ \underline z z，若无作用 z ‾ \underline z z不变。
第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于 z ‾ \underline z z者，则剪掉这枝。若大于 z ‾ \underline z z，且不符合整数条件，则重复第一步骤。
例子：设某LP(Linear Program)：
max 40 x 1 + 90 x 2 \max 40x_1+90x_2 max40x1+90x2
{ 9 x 1 + 7 x 2 ≤ 56 7 x 1 + 20 x 2 ≤ 70 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{cases} 9x_1+7x_2\leq56\\ 7x_1+20x_2\leq70\\ x_1,x_2\geq0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧9x1+7x2≤567x1+20x2≤70x1,x2≥0
其解为 x 1 = 4.81 , x 2 = 1.82 , z ˉ = 356 x_1=4.81,x_2=1.82,\bar z=356 x1=4.81,x2=1.82,zˉ=356，对其对应的IP(Integer Program)采用分支定界法，加入新约束 x 1 ≤ 4 x_1\leq4 x1≤4与整数约束，得到问题B1，其解为 x 1 = 4 , x 2 = 2.1 , z = 349 x_1=4,x_2=2.1, z=349 x1=4,x2=2.1,z=349。对应的，加入新约束 x 2 ≥ 5 x_2\geq5 x2≥5与整数约束得到新问题B2，其解为 x 1 = 5 , x 2 = 1.57 , z = 341 x_1=5,x_2=1.57,z=341 x1=5,x2=1.57,z=341。由此可得到B11其解为 x 1 = 4 , x 2 = 2 , z = 340 x_1=4,x_2=2, z=340 x1=4,x2=2,z=340。B12其解为 x 1 = 1.42 , x 2 = 3 , z = 327 x_1=1.42,x_2=3,z=327 x1=1.42,x2=3,z=327，B21其解为 x 1 = 5.44 , x 2 = 1 , z = 308 x_1=5.44,x_2=1, z=308 x1=5.44,x2=1,z=308。，B22无可行解。最终得到 z ∗ = 340 z^*=340 z∗=340。
注：将问题B划分为B11,B12,B21,B22四个子问题后，相当于将原LP的可行域划为4个子域，这4个子域的并集即为IP的解，由上可知，B11求到了整数解4，2，340，即 z ‾ = 340 \underline z=340 z=340，B11，B12，B2中最大的z为341(B21中的z更小，被剪枝)，但对于变量的取值不是整数，所以B11的解即为IP的解。
3. 0-1整数规划
变量值只取0和1的一种特殊的整数规划
3.1 引入0-1变量的实际问题
- 选与不选的问题（1和0）
- 两互斥的条件可引入新的变量转化为一个条件
3.2 解法之过滤隐枚举法
只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。这样的方法称为隐枚举法(Implicit Enumeration)，分枝定界法也是一种隐枚举法。
4. 蒙特卡洛法（随机取样法）
对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而准确的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。
对于非线性整数规划问题，采用显枚举法计算量大，如对有5个变量，每个变量有100种课能得取值时，显枚举法要计算 10 0 5 100^5 1005即 1 0 10 10^{10} 1010种取值，然而应用蒙特卡洛去随机计算 1 0 6 10 ^{6} 106个点，便可找到满意解。
5. 指派问题的计算机求解
对于指派矩阵 C = [ 3 8 2 10 3 8 7 2 9 7 6 4 2 7 5 8 4 2 3 5 9 10 6 9 10 ] C=\begin{bmatrix} 3&8&2&10&3\\ 8&7&2&9&7\\ 6&4&2&7&5\\ 8&4&2&3&5\\ 9&10&6&9&10 \end{bmatrix} C=⎣⎢⎢⎢⎢⎡3868987441022226109739375510⎦⎥⎥⎥⎥⎤，其求解的Lingo程序如下：
model:
sets:
var/1..5/;
link(var,var):c,x;
endsets
data:
c=3 8 2 10 3
8 7 2 9 7
6 4 2 7 5
8 4 2 3 5
9 10 6 9 10;
enddata
min=@sum(link:c*x);
@for(var(i):@sum(var(j):x(i,j))=1);
@for(var(j):@sum(var(i):x(i,j))=1);
@for(link:@bin(x));
end
参考资料
分支定界法