《数学建模算法与应用》——学习笔记chapter11. 方差分析
检验两个以上总体的均值彼此是否相等，数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。
1. 单因素方差分析
1.1 数学模型
1.2 统计分析
1.3 方差分析表
方差分析一般用的显著性水平是：取α = 0.01，拒绝 H0 ，称因素 A 的影响（或 A各水平的差异）非常显著；取α = 0.01，不拒绝 H0 ，但取α = 0.05 ，拒绝 H0 ，称因素 A 的影响显著；取α = 0.05 ，不拒绝 H0 ，称因素 A 无显著影响。
1.4 Matlab 实现
Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令是 anoval。
若各组数据个数相等，称为均衡数据。若各组数据个数不等，称非均衡数据。
（1）均衡数据
处理均衡数据的用法为：
p=anoval(x)
返回值 p 是一个概率，当 p > α 时接受 H0 ，x 为m× r 的数据矩阵，x 的每一列是一个水平的数据（这里各个水平上的样本容量 ni = m ）。另外，还输出一个方差表和一个Box 图。
（2）非均衡数据
处理非均衡数据的用法为：
p=anova1(x,group)
x 为向量，从第 1 组到第 r 组数据依次排列；group 为与 x 同长度的向量，标志 x 中数据的组别（在与 x 第i 组数据相对应的位置处输入整数i
2. 双因素方差分析
2.1 数学模型
2.2 无交互影响的双因素方差分析
如果根据经验或某种分析能够事先判定两因素之间没有交互影响，每组试验就不必重复，即可令t = 1，过程大为简化。
2.3 关于交互效应的双因素方差分析
2.4 Matlab 实现
统计工具箱中用 anova2 作双因素方差分析。命令为
p=anova2(x,reps)
其中 x 不同列的数据表示单一因素的变化情况，不同行中的数据表示另一因素的变化情况。如果每种行—列对（“单元”）有不止一个的观测值，则用参数 reps 来表明每个“单元”多个观测值的不同标号，即 reps 给出重复试验的次数t 。下面的矩阵中，列因素有 3 种水平，行因素有两种水平，但每组水平有两组样本，相应地用下标来标识：
3. 正交试验设计与方差分析
前面介绍了一个或两个因素的试验，由于因素较少，我们可以对不同因素的所有可能的水平组合做试验，这叫做全面试验。当因素较多时，虽然理论上仍可采用前面的方
法进行全面试验后再做相应的方差分析，但是在实际中有时会遇到试验次数太多的问
题。如三因素四水平的问题，所有不同水平的组合有 3 4 ＝64 种，在每一种组合下只进行一次试验，也需做 64 次。如果考虑更多的因素及水平，则全面试验的次数可能会大得惊人。因此在实际应用中，对于多因素做全面试验是不现实的。于是我们考虑是否可以选择其中一部分组合进行试验，这就要用到试验设计方法选择合理的试验方案，使得试验次数不多，但也能得到比较满意的结果。
3.1 用正交表安排试验
这种均衡性是一般正交表构造的特点，它使得根据正交表安排的试验，其试验结果
具有很好的可比性，易于进行统计分析。