荷西·H
荷西·H

凸优化 保凸运算

文章目录

  • 交集
  • 仿射映射
    • 例 利用仿射函数来理解 两个凸集的和仍然是凸的
    • 例 LMI 线性矩阵不等式的解集是凸集
    • 例 椭球是球的仿射映射
  • 透视函数
    • 一条线段经过透视函数变换后还是一条线段
    • 线性分式函数
  • 简短的summary

交集

仿射映射

凸优化 保凸运算_第1张图片
注意 虽然说是线性映射 但是维度变化了

凸优化 保凸运算_第2张图片
这个线性映射和线性逆映射都是保凸的

什么是仿射映射呢 --》 伸缩 、平移、投影 都是
凸优化 保凸运算_第3张图片

例 利用仿射函数来理解 两个凸集的和仍然是凸的

凸优化 保凸运算_第4张图片
思路就是：仿射变换是针对一个集合的 现在是两个集合 所以我们要把两个集合转换到一个集合里面去
先构造 第二行的（ 笛卡儿积般的拼接 ） 原本是个凸集 新的仍然是凸集 ==》
然后可以把S1+S2看作是新的集合的仿射变换 ( 第三行 )

一个凸集合和一个非凸集合的和 也可能是凸集合

例 LMI 线性矩阵不等式的解集是凸集

A和X都是对称矩阵
凸优化 保凸运算_第5张图片

实际上就是证明
凸优化 保凸运算_第6张图片

  • 解：
    首先构造仿射变换 ，注意这里X代表不是一个矩阵，而是这个线性矩阵不等式的解集，是一个高维空间，因为他是多个对称矩阵的集合，所以维度肯定比X的维度要高

你想想标量( X ) 组成向量，向量（解集）的维度肯定比标量（ 单个X ）的维度要高

所以这是从高维到低维的一个映射

因为B-A(X) 是跟B一个维度的，B和单独的X又是一个维度的

【右边是“标量” 左边是“向量”】

凸优化 保凸运算_第7张图片
最后一行是经典 但是也有点绕 就是将非负定矩阵带入仿射变换的逆运算中（对 ）

当感到高维空间无法思考的时候 就想象成标量



例 椭球是球的仿射映射

到 3:17 ?? 先看后面的



透视函数

实际上是一个降维操作 --》最后一维砍掉了
凸优化 保凸运算_第8张图片

这个相当于一个笛卡儿积的拼接 规定最后一个维度一定要是一个正实数
在这里插入图片描述

  • 为什么叫透视函数呢 ↓
    凸优化 保凸运算_第9张图片
    有点像 从原点这个小孔把光源（原像）的光透过去(只有这个小孔透光 ，别的地方不透光)，拦在 x3=-1这个墙上的感觉

为了更好的解释透射 ，我们下面证明一个线段经过透视函数变换后还是一条线段

一条线段经过透视函数变换后还是一条线段

凸优化 保凸运算_第10张图片

考虑如下三个点： x
凸优化 保凸运算_第11张图片
现在已经证明了，第三个点映射后还是在
凸优化 保凸运算_第12张图片
注意 要证明一条线段变成另一条线段，我们要证明给定Θ，映射前后是单射

这样就可以证明了 。。。。赛高



线性分式函数



简短的summary

仿射函数一般用 f(·) 表示，透视函数一般用 P(·) 表示

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