二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=0$。
该方程的特征方程为：$r^2+pr+q=0$
特征方程的判别式为：$\Delta =\sqrt{p^2-4q}$
特征根为：$r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

判别式$\Delta$	特征根	通解
$\Delta >0$	$r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$	$y=C_1{e}^{r_1}x+C_2{e}^{r_2}x$
$\Delta =0$	$r=r_{1,2}=\frac{-p}{2}$	$y=C(e^{r}x+x{e}^{r}x)$
$\Delta <0$	$r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$ $\alpha =\frac{-p}{2},\beta =\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$	$y=e^{ax}(C_1\sin \beta x+C_2\cos \beta x)$

二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=f(x)$。
该方程的解为：$Y=y+y^{\ast }$，式中：$y$齐次线性微分方程的通解，$y^{\ast }$为非齐次线性微分方程的特解。
$f(x)$有两种形式：
第一种为$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$；
第二种为$f(x)=e^{\lambda x}(P_m(x)\cos \omega x+P_n(x)\sin \omega x)$。

形式一

$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$
特解为：$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$
式中：$Q_m(x)$与$P_m(x)$为次数相同的多项式。

特解形式	$\lambda$
$Q_m(x)e^{\lambda x}$	$\lambda$不是特征根（${\lambda }^2+p\lambda +q̸=0$）
$x{Q}_m(x)e^{\lambda x}$	$\lambda$是特征单根（${\lambda }^2+p\lambda +q=0，但\lambda ̸=0$）
$x^2{Q}_m(x)e^{\lambda x}$	$\lambda$是特征重根（${\lambda }^2+p\lambda +q=0，且\lambda =0$）

注：$Q(x)=x^k{Q}_m(x)$满足方程
$Q^{\prime \prime }(x)+(2\lambda +p)Q^{\prime }(x)+({\lambda }^2+p\lambda +q)Q(x)=P_m(x)$
$(1)$当$\lambda$是特征单根（${\lambda }^2+p\lambda +q=0，但\lambda ̸=0$）时，
$Q(x)=x{Q}_m(x)e^{\lambda x}$满足方程$Q^{\prime \prime }(x)+(2\lambda +p)Q^{\prime }(x)=P_m(x)$
$(2)$当$\lambda$是特征重根（${\lambda }^2+p\lambda +q=0，且\lambda =0$）时，
$Q(x)=Q_m(x)e^{\lambda x}$满足方程$Q^{\prime \prime }(x)=P_m(x)$

形式二

$f(x)=e^{\lambda x}(P_m(x)\cos \omega x+P_n(x)\sin \omega x)$
特解为：$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}(Q_l(x)\cos \omega x+R_l(x)\sin \omega x)$
式中：$l=\max (m,n)$，$Q_l(x),R_l(x)$为$l$次多项式。

特解形式	$\lambda$
$y^{\ast }=e^{\lambda x}(Q_l(x)\cos \omega x+R_l(x)\sin \omega x)$	$\lambda +i\omega$不是特征根
$y^{\ast }=x{e}^{\lambda x}(Q_l(x)\cos \omega x+R_l(x)\sin \omega x)$	$\lambda +i\omega$是特征根