机器学习系列（4）——梯度下降

梯度下降法

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：
${\theta }^{\ast }=arg{\min }_{\theta }L(\theta )$

• L：loss function（损失函数）
• $\theta$：parameters（参数）

这是的parameters是复数，即$\theta$指代一堆参数，比如之前说到的w和b。我们要找一组参数$\theta$，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：
假设$\theta$里面有两个参数${\theta }_1,{\theta }_2$

先随机选取初始值，然后分别计算初始点处，两个参数对L的偏微分，然后${\theta }^0$减掉$\eta$乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分即为间接写法。$\nabla L(\theta )$即为梯度。$\eta$叫做Learning rate（学习率）。可视化过程如下：

优化Tips

Tip1：调整学习率

上图左边褐色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果学习率调整的有点大，比如绿色的曲线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候指挥发现损失函数越更新越大。
虽然这样的可视化可以很直观的观察，但可视化也只能是在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。
解决方法就是上图右边的方法，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的特别慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降的很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以用大一点的学习率
• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率
• 比如${\eta }^t=\frac{{\eta }^t}{\sqrt{t+1}}$，t是次数。随着次数的增加，${\eta }^t$减小

学习率不能是一个值通用所有的特征，不同的参数需要不同的学习率。

Adagrad算法

每个参数的学习率都把他除上之前微分的均方根。解释如下：
普通的梯度下降为：（w是一个参数）
$w^{t+1}\leftarrow w^t-{\eta }^t{g}^t$
${\eta }^t=\frac{{\eta }^t}{\sqrt{t+1}}$
Adagrad可以做的更好：
（${\sigma }^t$：之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的）
$w^{t+1}\leftarrow w^t-\frac{{\eta }^t}{{\sigma }^t}{g}^t$
$g^t=\frac{\partial L({\theta }^t)}{\partial w}$
下图是一个参数的更新过程：

将Adagrad的式子进行化简：

Adagrad存在的矛盾：

即在Adagrad中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。
正式解释：多参数下，梯度越大，跟最低点的距离不一定越远。
对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数$w_1$，就像图中蓝色的线，得到右边上图的结果；如果只考虑参数$w_2$，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于a和b，梯度越大，跟最低点的距离越远，同理c和d也成立。但是如果对比a和c，就不成立了，c比a大，但c距离最低点是比较近的。
所以最好的步伐应该是：$\frac{一次微分}{二次微分}$
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该是考虑到二次微分。再回到之前的Adagrad，对于$\sqrt{{\sum }_{i=0}^t(g^i{)}^2}$就是希望在尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：随机梯度下降法

之前的梯度下降：
$L={\sum }_n({\hat{y}}^n-(b+\sum w_i{x}_i^n){)}^2$
${\theta }^i={\theta }^{i-1}-\eta \nabla L({\theta }^{i-1})$
而随机梯度下降法更快，损失函数不需要处理训练集的所有数据，选取一个例子$x^n$：
$L=({\hat{y}}^n-(b+\sum w_i{x}_i^n){)}^2$
${\theta }^i={\theta }^{i-1}-\eta \nabla L({\theta }^{i-1})$
此时不需要像之前那样对对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update梯度。下图对比：

常规梯度下降法走一步要处理所有二十个例子，但随即算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）

Tip3：特征缩放

比如有个函数：
$y=b+w_1{x}_1+w_2{x}_2$
两个输入的分布范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是不一样的。

上图左边是$x_1$的scale要比$x_2$要小很多，所以当$w_1$和$w_2$做同样的变化时，$w_1$对y的变化影响是比较小的，$w_2$对$y$的变化影响是比较大的。坐标系中是两个参数的error surface，先考虑左边蓝色，因$w_1$对$y$的变化影响比较小，所以$w_1$对损失函数的影响比较小，$w_1$对损失函数有比较小的微分，所以$w_1$方向上是比较平滑的。同理$w_2$对$y$的影响比较大，所以$w_2$对损失函数的影响比较大，即在$w_2$方向有比较尖的峡谷。上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。
对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向最低点的方向走的，而是顺着等高线切线法线的方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也比较有效率。

缩放方法

上面每一列都是一个例子，里面都有一组特征。对每个维度i（绿色框）都计算平均数，记作$m_i$；还要计算标准差，记作${\sigma }_i$。然后用第r个例子中的第i个特征，减掉平均数$m_i$，然后除以标准差${\sigma }_i$，得到的结果是所有的平均数都是0，所有的方差都是1。

梯度下降的理论基础

比如在${\theta }^0$处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的${\theta }^1$，不断的这样去寻找，接下来就是如何在小圆圈内快速的找到最小值？

泰勒展开式

定义：若$h(x)$在$x=x_0$点的某个领域内有无限阶导数（即可无限微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：
$h(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{h^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k=h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{h^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdot \cdot \cdot$
当$x$很接近$x_0$时，有$h(x)\approx h(x_0)+h^{\prime }(x_0)(x-x_0)$就是函数$h(x)$在$x=x_0$点附近关于$x$的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。如下图所例：

图中3条蓝色线就是把前三项作图，橙色线是$sin(x)$。
多变量泰勒展开式类似。如下图为两个变量的泰勒展开式：

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值，基于泰勒展开式，在$(a,b)$点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：

问题集如下的范围内的优化问题：

不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量$(\Delta {\theta }_1,\Delta {\theta }_2)$和$(u,v)$的内积，那怎样让它最小，就是和向量$(u,v)$方向相反的向量。


发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圆圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，就需要学习率足够小才可以。
所以十几种，当更新参数的时候，如果学习率没有设置好，有可能会导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。以上只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

梯度下降的限制

容易陷入局部极值，还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方，还有可能十几种当微分值小于某一个数值就停下来了，但这只是比较平缓，并不是极值点。