canny算法（2）——图像梯度的计算（sobel算子）
图像梯度的提出
对图像进行过高斯平滑滤波后，图像的部分高斯噪声会降低，锐度也会减弱，但是此时图像的边缘分解不太明显，变化的灰度变化不太强烈，不太容易捕捉。因此，为了去定义这种边缘灰度变化的大小，提出图像梯度，用梯度的大小去表示边缘灰度变换的大小。
梯度的数学定义
梯度即是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。即导数（梯度），那么对于图像来说，把图像当作函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，用微分去表示图像的变化率。由于图象是二维函数，故求偏导。
soble算子
s x = [ 1 0 − 1 2 0 − 2 1 0 − 1 ] , s y = [ 1 2 1 0 0 0 − 1 − 2 − 1 ] s_{x}=\begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 2&0&-2\\ 1&0&-1\\ \end{bmatrix},s_{y}=\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&0&0\\ -1&-2&-1\\ \end{bmatrix} sx=⎣⎡121000−1−2−1⎦⎤,sy=⎣⎡10−120−210−1⎦⎤
图像梯度的计算
由于图像是离散的，即 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是一个离散函数，故计算梯度时，变化的最小单位为1。对一幅图像，有 x 方 向 ， y 方 向 x方向，y方向 x方向，y方向，如下图 3 × 3 3\times3 3×3所示：
对于上图，要计算中心像素点1的 x 方 向 ， y 方 向 x方向，y方向 x方向，y方向的梯度幅值和方向，如果应用soble卷积模板，则需要 S x , S y S_{x},S_{y} Sx,Sy与 3 × 3 3\times3 3×3领域做卷积。
∂ g ∂ x = − 3 \frac{\partial{g}}{\partial{x}}=-3 ∂x∂g=−3
∂ g ∂ y = 3 \frac{\partial{g}}{\partial{y}}=3 ∂y∂g=3
则该点梯度的幅值和方向为：
幅 值 ： M ( x , y ) = ( ∂ g ∂ x ) 2 + ( ∂ g ∂ y ) 2 = 3 2 幅值：M(x,y)=\sqrt{(\frac{\partial{g}}{\partial{x}})^2+(\frac{\partial{g}}{\partial{y}})^2}=3\sqrt{2} 幅值：M(x,y)=(∂x∂g)2+(∂y∂g)2=32
方 向 ： a c t a n [ ∂ g ∂ y ∂ g ∂ x ] = − π 4 方向：actan[\frac{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{x}}}]=-\frac{\pi}{4} 方向：actan[∂x∂g∂y∂g]=−4π
根据数学中的定义，梯度方向总是与边缘方向正交的，具体如下图所示：
总结
求任何一点的处的梯度（幅值和方向）即用soble卷积算子（可选大小，一般取 3 × 3 3\times3 3×3）与对应像素点做卷积。对于边缘点的梯度，如果不做边缘补充，则把其周围的像素点默认为 0 0 0。
代码实现
对于代码，选用的是 m a t l a b matlab matlab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 计算高斯核 %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc;
pi=3.1415926;%高斯公式中Π的值
sum1=0;%计算累计权重的值
d=1.5;%高斯核标准差
c=5;%高斯核大小
center=(c/2)+0.5;%模板的中心，这里取整
A=1/(2*pi*d*d);%高斯公式指数前面的系数
for i=1:c
x2=(i-center)*(i-center);
for j=1:c
y2=(j-center)*(j-center);
B=exp(-(x2+y2)/(2*d*d));
C(i,j)=A*B;
sum1=sum1+C(i,j);
end
end
%整数形式的高斯核，需要进行归一化，即把左上角的值化为1
%下面进行归一化
k=1/C(1,1);
for i=1:c
for j=1:c
D(i,j)=C(i,j)*k;%进行归一化后整数形式的高斯核，有小数可以取整
sum1=sum1+D(i,j);
end
end
%若需要小数形式的高斯核，则在不需要归一化，而需要进权重分配，高斯核的每个系数要除以所有系数的和。
%下面进行权重分配
for i=1:c
for j=1:c
E(i,j)=C(i,j)/sum1;%进行权重分配后小数形式的高斯核
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%截至这里，高斯核以计算完毕%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 高斯滤波器模板的生成最重要的参数就是高斯分布的标准差。
% 标准差代表着数据的离散程度，如果较小，那么生成的模板的中心系数较大，
% 而周围的系数较小，这样对图像的平滑效果就不是很明显；
% 反之，较大，则生成的模板的各个系数相差就不是很大，比较类似均值模板，对图像的平滑效果比较明显。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%截至这里，高斯核以计算完毕%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 开始进行高斯滤波 %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
I=imread('tupian.png');%读取灰度图片
I=rgb2gray(I);
% subplot(2,3,1)
% imshow(I)%输出原始灰度图片
% title('原始灰度图像')
I=double(I);%转换为浮点型
[row,col]=size(I);%获取图片的长宽
%由于这里作者水平有限，因此，对图像先不做边界填充
for k=1:row
for m=1:col
sum2=0;
%进行卷积，模板与图像对应部分相乘再累加
for i=1:c
for j=1:c
%下面if判断相当于给图像的边缘填充0
if(((k-center+i)>0&&(k-center+i)<= row)&&((m-center+j)>0&&(m-center+j)<=col))
sum2=sum2+ E(i,j)*I(k-center+i,m-center+j);
end
end
end
myimg(k,m)=sum2;
end
end
A=myimg();
% subplot(2,3,2)
% imshow(A)%输出处理后的灰度图片
% title('高斯滤波后的灰度图像')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%截至这里，简单的高斯滤波处理完毕%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%需要注意的是在这里对四个边界的填充均以0处理，
%%可能效果不太好，读者若是想用，可以另作处理
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 计算图像梯度，使用soble梯度模板 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
sx=[1 0 -1;2 0 -2;1 0 -1];
sy=[1 2 1;0 0 0;-1 -2 -1];
gx=conv2(A,sx,'same');%水平方向做卷积
gy=conv2(A,sy,'same');%垂直方向做卷积
M=sqrt((gx.^2)+(gy.^2));%算梯度幅值
subplot(2,3,3)
imshow(M)%输出用soble模板处理后的梯度幅值图片
title('使用soble算子的梯度图像')
a=atan2(gy,gx).*180/pi;%算梯度角度，范围为-180到180
到此为止，canny算法的第二步，图像梯度的计算就算告一段落了，希望各位学友批评指正，如有问题，或需要探讨，请留言或联系本人。 Q Q : 2214564003 QQ:2214564003 QQ:2214564003
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