【凸优化】保留凸性的几个方式（交集、仿射变换、投影、线性分式变换）

1. 交集

几个凸集的交集仍然是凸的

2. 仿射变换

关于仿射变换的讲解参看 https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/80498805

3. 投影（perspective function）

一个投影函数 (perspective function) 的定义是：

P(x,t)=x/tdom P={(x,t)∣t>0}P(x,t)=x/tdom P={(x,t)∣t>0}

投影函数将原函数降了一维，它的作用是得到原函数在该维度的倒影。举例：若 x3>0x3>0

⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥⇒[x1/x3x2/x3][x1x2x3]⇒[x1/x3x2/x3]

其中， dom 表示定义域

一个凸集经投影函数变换后凹凸性不变。

4.线性分式变换（linear fractional transformation）

假设一个仿射函数为：

g(x)=[ACT]x+[bd]g(x)=[ACT]x+[bd]

它的投影函数：

f=Ax+bcTx+ddom{x∣CTx+d>0}f=Ax+bcTx+ddom{x∣CTx+d>0}

就是函数 gg 的线性分式变换，显然凹凸性不变。

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