四边形不等式

四边形不等式

优化一种动态规划递推式：

1. $f_i=mi{n}_{0\le j<i}\{f_j+w(j+1,i)\}$ 典型题目：序列划分
2. $f_{i,j}=mi{n}_{i\le k<j}\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)\}$ 典型题目：石子合并

必须满足的条件：

a. $w(i,j)$满足区间包含单调性
b. $w(i,i)=0$
c. $w(i,j)$满足四边形不等式，即对于$x\le x^{\prime }<y\le y^{\prime }$，有$w(x,y)+w(x^{\prime },y^{\prime })\le w(x,y^{\prime }),+w(x^{\prime },y)$

决策单调性证明

1维递推式决策单调性证明

对于式子$1$，假设$k$是$f_i$的最优决策点，假设$i^{\prime }>i,k^{\prime }<k$，那么对于$f_{i^{\prime }}$来说，在$k$点决策优于在$k^{\prime }$点决策。

1. 首先有1式：$f_i=f_k+w(k+1,i)<f_{k^{\prime }}+w(k^{\prime }+1,i)$
2. 取点$k^{\prime }+1<k+1<i<i^{\prime }$，根据四边形不等式得2式：$w(k^{\prime }+1,i)+w(k+1,i^{\prime })<w(k^{\prime }+1,i^{\prime })+w(k+1,i)$
3. 1式 + 2式可得3式：$f_k+w(k+1,i^{\prime })<f_{k^{\prime }}+w(k^{\prime }+1,i^{\prime })$
   根据3式，显然决策单调性满足。

2维递推式决策单调性证明

对于式子$2$，假设$p(i,j)$是$f_{i,j}$的最优决策点，那么证明决策单调性即等价于证明$p(i,j-1)\le p(i,j)\le p(i+1,j)$。
先证明$p(i,j-1)\le p(i,j)$，右边同理。
证明方法：设是$p(i,j-1)=k,k^{\prime }<k$

1. 由$k$的最优性，得到1式$f_{i,j-1}=f_{i,k}+f_{k+1,j-1}+w(i,j-1)<f_{i,k^{\prime }}+f_{k^{\prime }+1,j-1}+w(i,j-1)$
2. 由于$w$满足四边形不等式，其实$f$也满足四边形不等式，取$k^{\prime }+1<k+1<j-1<j$，由递变形不等式可得：$f_{k^{\prime }+1,j-1}+f_{k+1,j}<f_{k^{\prime }+1,j}+f_{k+1,j-1}$。
3. 1式+2式可得：$f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j)<f_{i,k^{\prime }}+f_{k^{\prime }+1,j}+w(i,j)$。
   显然，对于$f_{i,j}$来说，决策点$k$要比$k^{\prime }$好，证明完毕。

于是石子合并的代码可以写成：

for(int i = 1;i <= n;++i) {
	dp[i][i] = 0;
	dp[i][i+1] = a[i] + a[i+1];
	p[i][i+1] = i;
}
for(int len = 3;len <= n;++len) 
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		int j = i + len - 1;
		if(j > n) break;
		for(int k = p[i][j-1],k <= p[i+1][j];++k) {
			int X = dp[i][k] + dp[k+1][j];
			if(X < dp[i][j]){
				dp[i][j] = X;
				p[i][j] = k;
			}
		}
	}
}

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例题

http://poj.org/problem?id=1160

题目大意

给出$V$个村庄的横坐标，从中选出$P$个安放邮局，使得所有村庄去邮局距离之和最小。

解：

当只安放一个邮局时候，显然只需选在中间点即可。
设$w(i,j)$表示把$[i,j]$区间内的村庄安置一个邮局，其最小距离和。
容易发现，$w(i,j)$可以用动态规划来求解，时间复杂度$O(n^2)$，$w(i,j)=w(i,j-1)+(x[j+1]-x[\frac{y+1+x}{2}])$，发现$w(i,j)$满足四边形不等式等3个条件。

记$f_{i,j}$表示在前$i$个村庄安放$j$个邮局，距离之和的最小值。
类似于序列化分问题，我们可以找到转移方程：
$f_{i,j}=min(f_{k,j-1}+w(k+1,i))$，根据1维线性递推式的决策单调性证明方法，可以知道这个式子也可以使用四边形进行优化。