【数据结构基础复习系列】数学基础知识铺垫

指数

$$X^A{X}^B=X^{A+B}$$
$$\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B}$$
$$(X^A{)}^B=X^{AB}$$
$$X^N+X^N=2X^N\ne X^{2N}$$
$$2^N+2^N=2^{N+1}$$

对数

定义：$X^A=B$，当且仅当$lo{g}_{X}B=A$
$$lo{g}_{A}B=\frac{lo{g}_{C}B}{lo{g}_{C}A}$$

级数

$$\sum _{i=0}^N{2}^i=2^{N+1}-1\Rightarrow \sum _{i=0}^N{A}^i=\frac{A^{N+1}-1}{A-1}$$
$$\sum _{i=1}^{N}i=\frac{N(N+1)}{2}\approx \frac{N^2}{2}$$
$$\sum _{i=1}^N{i}^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx \frac{N^3}{3}$$
$$\sum _{i=1}^N{i}^k\approx \frac{N^{k+1}}{|k+1|}$$

模运算

如果N整除A和B，那么则说A和B模N同余(congruent)，计为$A\equiv B(modN)$，例如$81\equiv 61(mod10)$。性质：若$A\equiv B(modN)$，则$A+C\equiv B+C(modN)$，$AC\equiv BC(modN)$。

算法分析

定义1：如果$\exists c,\exists n_0$使得当$N\ge n_0$时，$T(N)\le cf(N)$,则记为$T(N)=O(f(N))$。念成“大O$\cdots \cdots$”。
定义2：如果$\exists c,\exists n_0$使得当$N\ge n_0$时，$T(N)\ge cg(N)$,则记为$T(N)=\Omega (g(N))$。念成“omega$\cdots \cdots$”。
定义3：$T(N)=\Theta (h(N))$当且仅当$T(N)=O(h(N))$和$T(N)=\Omega (h(N))$。念成“theta$\cdots \cdots$ ”
定义4：如果$T(N)=O(p(N))$且$T(N)\ne \Theta (p(N))$，则$T(N)=o(p(N))$。念成“小o$\cdots \cdots$ ”。
用传统的不等式来计算增长率，则定义1表示T(N)的增长率小于等于$(\le )$f(N)的增长率；定义2表示表示T(N)的增长率大于等于$(\ge )$g(N)的增长率；定义3表示表示T(N)的增长率等于$(=)$h(N)的增长率；定义2表示表示T(N)的增长率小于$(<)$p(N)的增长率。当我们说$T(N)=O(f(N))$，我们是在保证T(N)以不快于f(N)的速度增长，因此$O$表示一个上界，$\Omega$表示一个下届。
法则1：
如果$T_1(N)=O(f(N))$且$T_2(N)=O(g(N))$，那么
$$T_1(N)+T_2(N)=max(O(f(N)),O(g(N)))$$
$$T_1(N)\ast T_2(N)=O(O(f(N))\ast O(g(N)))$$
法则2：如果T(N)是一个k次多项式，则$T(N)=\Theta (N^k)$。
法则3：$\forall 常数k$，$lo{g}^{k}N=O(N)$，这说明对数增长很缓慢。
常见函数增长率排序：
$$\begin{array}{cc}函数& 名称\\ c& 常数级\\ logN& 对数级\\ lo{g}^{2}N& 对数平方级别\\ N& 线性级\\ NlogN& \\ N^2& 平方级\\ N^3& 立方级\\ 2^N& 指数级\end{array}$$

运行时间计算

以简化分析，一般约定：不存在特定的时间单位 ，抛弃一些常数系数和低阶项，从而要做的是计算大O运行时间(即上界)。程序可以提前结束，但是绝不可以拖后。
一个简单的例子，计算${\sum }_{i=1}^N{i}^3$的程序片段：

	Sum(int N){
		int i,PartialSum;
/*1*/	PartialSum=0;
/*2*/	for(i=0;i<N;i++)
/*3*/		PartialSum += i*i*i;
/*4*/	return PartialSum;
}

函数变量声明不计算时间，第1行和第4行各占一个单元时间。第3行每执行一次占用四个单元的时间(3个乘法运算1个加法运算)。第3行的i初始化占一个时间单位，测试N+1个单位，自增N个单位。因此，总的时间开销是6N+4，则说该函数是O(N)。
假设每一个程序段都像上述来分析是不明智的，于是得到一些一般法则：
法则1：FOR循环
一次for循环的运行时间至多是循环内部语句时间乘以迭代次数。
法则2：嵌套的FOR循环
有里向外分析，在一组嵌套循环语句内部语句时间乘以该组for循环的大小。

for(i=0;i<N;i++)
	for(j=0;j<N;j++)
		语句；

上述程序段的运行时间就为$O(N^2)$
法则3：顺序语句
将各个语句的运行时间一次求和即可，意味着其中的最大值就是运行的时间。

for(i=0;i<N;i++)
	语句;
for(i=0;i<N;i++)
	for(j=0;j<N;j++)
		语句；

上述程序端的运行时间$O(N)+O(N^2)$，抛去低阶项，则程序的运行时间为$O(N^2)$
法则4：IF/ELSE语句
if中的判断时间开销，if中的执行语句开销，else中的执行语句开销，这个时间开销估计会过高，但绝不会过低。

补充

等比数列($a_n=a_1\cdot q^{\left(n-1\right)}$)求和公式：
$$S_n=n\times a_1(q=1)$$
$$S_n=a_1\cdot \frac{1-q_n}{1-q}=\frac{a_1-a_n\cdot q}{1-q}(q\ne 1)$$
等差数列($a_n=a_1+(n-1)d$)求和公式：
$$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{1}{2}n(a_1+a_n),n\in N^{\ast }$$