python之逆元（数论倒数）

倒数想必大家都知道吧
a的倒数是b，那么$a\times b=1$。
那数论倒数呢？数论基本就是取模同余，应该也能猜到了吧
在模p意义下，a的逆元是b，有$a\times b\equiv 1(modp)$
也就是$a\times b$可以是1,也可以是1+p，也可以是1+2p……
注意：只有gcd(a,p)=1时才有解，也就是a和p互质。
那么逆元怎么求呢？
第一种：
费马得意地笑着( •̀ ω •́ )✧
费马小定理登场！！
当p是质数时$$x^{p-1}\equiv 1(modp)$$那么两边$÷x$，$$x^{p-2}\equiv x^{-1}(modp)$$
那么这下子容易了，直接求$x^{p-2}modp$就行了。
快速幂求解就完事。

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第二种：
欧几里得一脚踹翻费马<( ￣^￣)(θ(θ☆( >_<
如果p不是质数，那么你不得不用扩展欧几里得。
同余方程重在于变形$$a\times b\equiv 1(modp)\Rightarrow a\times b+p\times k=1$$
这个就是再熟悉不过的exgcd的了（前提是gcd(a,p)=1）
不了解exgcd的那些事？

def exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return 1, 0, a
    else:
        x, y, q = exgcd(b, a % b)
        x, y = y, (x - (a // b) * y)
        return x, y, q


def inf(a,p):
    x, y, q = exgcd(a,p)
    if q != 1:
        raise Exception("No solution.")
    else:
        return (x + p) % p #防止负数

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