人工智能之数学基础----求解微分问题

本章主要讲解微分的方法求解的常用公式

• 使用定义求导
• 使用乘积法则、商法则、链式法则
• 切线方式
• 如何对分段函数求导

使用定义求导

上一章我们知道公式

【例】函数；求函数的导数

  利用公式：

                                          代入值

                       对分子化简同分母

                                             化简分子

                               当h无限趋于0的时候可以忽略h，所以消掉h

根据公式也就是说；计算证明，对于任意的

a为任意实数
C为常数

 【例】

         

         

        

函数和与函数差

   函数和与函数差法则：就是把函数的每个部分都分别求导，最后把各个部分相加、减就可以

【例】函数

                           

                           

                          

乘积法则求函数导数

乘积法则(版本一)；如果

【例】求函数 的导数

       令：                                                  

                                                  

               利用乘积法则公式得

            

                    

        最后将结果乘开，但是这个结果比较糟糕，我们就保持原样吧

乘积法则（版本二）如果,则

              【例】函数：；求微分

                         令：                                   

                                                           

                          利用乘积公式：

                                                 

乘积法则（三个变量）如果,则

 【例】函数 ；求导数

          令：                                             

                                                       

                                               

          利用乘积公式

                                

通过商法则求商函数的导数

商法则（版本一）如果；那么

【例】函数；求商函数的导数

         令：                   

                                    

      利用商法则：

                                   

商法则（版本二）如果；那么

【例】函数；求导数

           令：                           

                                              

           根据商法则：

                                  

通过链式求导法则求复合函数的导数

链式求导法则（版本一）；如果；那么

 【例】函数；求导数

           令：                                   

                                                         

           根据链式法则：

                                            

                                             

链式求导法则（版本二）如果是的函数，并且是的函数，那么

【例】令：                                        

                                                         

   根据链式法则：

                               

                               

                                                

求切线方程

假如有一条曲线和曲线上一个特定的点，那么过该点的切线的斜率是，并且此切线通过点，现在，就可以使用点斜式来求切线方程了，具体细节如下：

1. 求斜率，通过求导函数并带入给定的x值；
2. 求直线上的一点，通过将给定的x值代入原始函数本身得到y坐标，将坐标写在一起并称其为点
3. 使用点斜式

【例】令;该函数在x=2处的切线方程是什么

       分析：采用链式求导法则：

                                      令                      ;

                                                                     

         

               

               

               

                =  600      斜率为600

          第二步：将x=2带入表达式，求出y的值  ；所以切线通过点（2,1）

          第三步：切线方程；即：

分段函数求导

【例一】

上面的函数是否可导?

从上面的表达式可以看出该函数在左侧和右侧都是可导数的，问题是在x=0的时候两段接口处发生了什么

可导性有两个前提条件：1、连续性  2、左右两边的导数值相等

校验连续性：

左极限：

右极限：

因此，左极限等于右极限，这就意味着双侧极限存在并且等于1。

校验导数值：（左侧：；导数；右侧：；导数）

左导数值：

右导数值：

因为分段函数的左导数和右导数相等，所以该函数可导

【例二】

注意：加入了绝对值使我们的方程变得更加复杂，实现我去掉绝对值符号

    简化   

合并上面两个方程

【分析】从上面的函数可以看出每个分段都是处处可导的，问题是每个分段的连接点左右两边有什么问题，是否可导

校验连续性：

左极限：

右极限：

由于两个极限相等，因此g在x=-2上连续

校验导数：函数的导数      函数的导数

左导数：

右导数：

左导数和右导数不相等，故函数g在x=-2上不可导

在另外一个连接点x=1上又如何？重复之前的步骤

左连续：

右连续：

左右极限相等，因此g在x=1上连续。

验证左右极限： 函数的导数 函数的导数

左导数：

右导数：

由于左导数和右导数相等，因此函数g在x=1上可导

 

所以除了在（-2,0）处不可导，其他处处可导