CodeForces Gym 102156 简要题解
Takeover
每次贪心选增量最小的。
#include Unfair Card Deck
记 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j) 表示 i i i 在 j j j 前出现次数，则 f ( i , j ) / f ( j , i ) f(i,j)/f(j,i) f(i,j)/f(j,i) 可以近似得到 w i w_i wi 与 w j w_j wj 的比值。考虑每次选出 w w w 最大的，用所有已有的卡片来计算平均值。需要注意的是，如果 f ( i , j ) / f ( j , i ) < 1 0 − 3 f(i,j)/f(j,i)<10^{-3} f(i,j)/f(j,i)<10−3 ，这个卡片是相对没有代表性的，它不能很好反映概率，应该丢掉。如果所有已经确定卡片都在当前卡片前面出现，则它们都没有代表性，需要用之前最小的 w w w 乘上 1 0 − 7 10^{-7} 10−7 （极大概率出现在他们后面，同时也能区分后面的卡片）。
#include Diverse Singing
对于每个点每种颜色限流，跑上下界网络流即可。
#include Pick Your Own Nim
拟阵交。第一个拟阵是要求线性无关，第二个拟阵是每堆最多选一个。
#include Permutasino
为了方便，我们将 x i x_i xi 排序，则和必须要对，且需要满足 ∑ j = 1 i x j ≥ ∑ j = 1 i j \sum_{j=1}^i x_j\ge \sum_{j=1}^i j ∑j=1ixj≥∑j=1ij ，否则无解。其余情况都是有解的。
用归纳法证明这个结论。考虑用 ( 1 , 2 , ⋯ , n ) , ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) (1, 2, \cdots, n), (y_1, y_2, \cdots, y_n) (1,2,⋯,n),(y1,y2,⋯,yn) 来线性表示 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_1, x_2, \cdots, x_n) (x1,x2,⋯,xn) ，则 y y y 可以用一个 r a t i o ratio ratio 来表示。二分求出最大的 r a t i o ratio ratio ，使得 y y y 仍然满足排序后前缀和大于排列前缀和，此时 y y y 存在一个位置可以分成两半（排序后前缀和等于排列前缀和），两部分递归处理。考虑合并，用类似归并排序的方法可以将一个 n n n 的子问题和一个 m m m 的子问题用 n + m − 1 n+m-1 n+m−1 个排列凑出来，加上 ( 1 , 2 , ⋯ , n + m ) (1, 2, \cdots, n+m) (1,2,⋯,n+m) 恰好 n + m n+m n+m 个。
这里需要注意一些精度问题，例如二分后找到限制最紧的来计算 r a t i o ratio ratio ；以及可以用一个随机排列而不是 ( 1 , 2 , ⋯ , n ) (1, 2, \cdots, n) (1,2,⋯,n) 作为一组解。我写了一个怎么调eps都过不去，就抄了一遍std。
#include Planar Max Cut
google这个标题你就会做了 考虑属于割集的边，不难发现需要形成一个二分图；而平面图是二分图当且仅当每个区域的环长是偶数。考虑删去一条边，会合并两个区域，要让图中没有奇环，只有两个有奇环的区域合并是有效的，偶环起过渡作用。求出对偶图中度数为奇数的任意两点最短路，然后求一般图最大权匹配即可。
#include Battle Royale
不妨令 L = 0 L=0 L=0 ，当 x < M x<M x<M 时，其存活时间 t i = x i R M + a i t_i = \frac{x_iR}{M}+a_i ti=MxiR+ai ，维护一个上凸壳，再用单调栈维护当前 M M M 的最大 t i t_i ti 即可。对于另一个方向同理，最后可以得到若干段，每段有两个候选点，它们作为最优解的 M M M 一定存在一个分界点，二分即可。
#include Jeopardy
答案是 max \max max 每行的最小值。
#include Slippers
首先求出最大匹配，再考虑方向问题。如果有一个空余格子，则可以任意调整这个网格的方向；否则检验方向之和模 4 4 4 是否正确。
#include The Good, the Bad and the Ugly
走 1 1 1 步 + + + ， 3 3 3 步 − - − ， 9 9 9 步 + + + ，直到走到 0 0 0 ，然后就很好区分三种情况了。
#include