数论倒数--逆元详解

数论倒数，又称逆元

数论中的倒数是有特别的意义滴
你以为a的倒数在数论中还是1/a吗
(・∀・)哼哼~天真

inv(a*b) = inv(a) * inv(b)

先来引入求余概念

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）

为什么除法错的
证明是对的难，证明错的只要举一个反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？
答案当然是 NO (>o<)

这时就需要逆元了

我们知道，如果 a∗x=1 a ∗ x = 1 那么x是a的倒数， x=1/a x = 1 / a ，但是a如果不是1，那么x就是小数，那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了 a∗x=1(modp) a ∗ x = 1 ( m o d p ) ，那么x一定等于1/a吗 不一定
所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做 ：
a关于p的逆元

比如 2∗3 2 ∗ 3 % 5=1 5 = 1 ，那么3就是2关于5的逆元，或者说2是3关于5互为逆元
这里 3 的效果是不是跟 1/2 的效果一样，所以才叫数论倒数

a的逆元，我们用inv(a)来表示
那么 (a/b) ( a / b ) % p=(a∗inv(b)) p = ( a ∗ i n v ( b ) ) % p=(a p = ( a % p∗inv(b) p ∗ i n v ( b ) % p) p ) % p p
这样就把除法，完全转换为乘法了。

正篇开始

1.逆元怎么求 (忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)

方法一： （费马小定理）

费马曾经说过：不想当数学家的数学家不是好数学家（(￣▽￣)~*我随便说的，别当真）
a^(p-1) ≡ 1 mod p
两边同除以a ，a^(p-2) ≡1/a (mod p) ，什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a
应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)，这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 
    return pow_mod(a, p-2, p);
}

方法二：（扩展欧几里德算法）

还记得扩展欧几里德吗？（不记得的话，欧几里得会伤心的(╭￣3￣)╭♡）
a∗x+b∗y=1 a ∗ x + b ∗ y = 1 ，如果ab互质，有解，这个解的x就是a关于b的逆元
y就是b关于a的逆元…….为什么呢？

你看，两边同时求余b
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
你看你看，出现了！！！(/≥▽≤/)，所以x是a关于b的逆元，反之可证明y

附上代码：

#include
typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
     else{
         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
         y -= x * (a / b);
     }
 }
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
int main(){
    LL a, p;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
        printf("%lld\n", inv(a, p));
    }
}

方法三：

当p是个质数的时候有
inv(a)=(p−p/a)∗inv(p i n v ( a ) = ( p − p / a ) ∗ i n v ( p % a) a ) % p p
这为啥是对的咩？，证明不想看的孩子可以跳过。。。（￣0 ￣）

证明：
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1

代码：

 #include
 typedef long long LL;
 LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下 
     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
 }
 int main(){
    LL a, p;
     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
         printf("%lld\n", inv(a%p, p));
     }
 }

这个方法不限于求单个逆元，比前两个好，它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元，递归就是上面的写法，加一个记忆性递归，就可以了，递推这么写：

 #include
 const int N = 200000 + 5;
 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 int inv[N];
 int init(){
     inv[1] = 1;
     for(int i = 2; i < N; i ++){
         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

转自：ACM数论之旅6—数论倒数，又称逆元（我整个人都倒了(￣﹏￣))