素性测试算法 Miller-Rabin

费马小定理

$p$ 为质数, $a$ 为任意自然数, 则
$$a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)⟺a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

证明略。

二次探测定理

$p$ 为质数，则 $x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的解为 $x_1=1,x_2=p-1$。

略证：

$$\begin{gathered} x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ {x}^2-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ (x+1)(x-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ p|(x-1)\times (x+1) \end{gathered}$$

Miller-Rabin

我们都知道，如果 $p$ 为质数那么有 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。但反命题不一定成立，比如令 $a=2$，那么有 $2^{340}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341=1$，但是 $341=11\times 31$。那么再试一下 $a=3$，发现 $3^{340}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341=56$，所以 $341$ 不是质数。

那么能不能多选几个质数去做检测呢？但是有一些合数，叫做 Carmichael 数，比如 $561=3\times 11\times 17$，所有合法的底数都无法将它检测出来。

那么接下来就是正题了——Miller-Rabin 素性测试算法。先拿 $341$ 举个栗子，看看这个算法在干什么。

先说明一个显而易见的命题，对于任意质数 $p$ 有 $2|p-1$。那么看看 Miller-Rabin 干了什么。

因为 $2^{340}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341)$，那么有$2^{{170}^2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341)$，若将 $2^{170}$ 看作一个整体，根据二次探测定理，如果 $341$ 是一个质数，那么 $2^{170}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341=1/340$。可以发现 $2^{170}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341$ 为 $1$。那么还适用二次探测定理，再看看 $2^{85}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341$，发现它为 $32$，所以 $341$ 不是质数。

int ksm(int a, int k, int p) {
  	int res = 1;
  	while (k) {
    	if (k & 1) res = res * a % p;
    	a = a * a % p;
    	k >>= 1;
  	}
  	return res % p;
}
int MR(int x, int p) {
	if (ksm(x, p-1, p) != 1) return 0;
	int k = p - 1;
	while (!k & 1) {
		k >>= 1;
		int t = ksm(x, k, p);
		if (t == p - 1) return 1;
		if (t != 1) return 0;
	}
	return 1;
}
int RP(int p) {
	if (p == 2 || p == 3 || p == 5 || p == 7 || p == 11) return 1;
	if (p == 0) return 0;
	return MR(2, p) && MR(3, p) && MR(5, p) && MR(7, p) && MR(11, p);
}
int main() {
	while (1) {
		int x = read();
		printf("%d\n", RP(x));
	}
	return 0;
}

可以发现 Miller-Rabin 的时间按复杂度为 $O(k{\log }^{2}n)$，其中 $k$ 为测试次数，通常五次就够了。