信号与系统——连续系统分析的MATLAB实现

一、实验目的
1．掌握利用MATLAB对LTI连续系统进行时域分析和频域分析的基本方法；
2．深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的频率特性中的重要作用及意义。

二，实验内容

1，已知系统y″(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t) ，输入f(t)=e^(-t) ε(t) ，起始状态为y(0-)=y’ (0-)=1 。

(1)用dsolve函数求零输入响应、零状态响应和全响应：
2018a版MATLAB程序如下

clc
clear
yzi = dsolve('D2y+4*Dy+3*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1') %求零输入响应
anns = dsolve('D2y+4*Dy+3*y=Df','f=exp(-t)*heaviside(t)','y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0');% heaviside(t)表示单位阶跃信号
yzs = simplify(anns.y) %求零状态响应，ans为结构体，ans.y为零状态响应
y = simplify(yzi+yzs) %求全响应

结果：
零输入响应yzi = 2exp(-t) - exp(-3t)
零状态响应yzs = piecewise(0 < t, exp(-t)/4 - exp(-3t)/2 - (texp(-t))/2, t < 0, 0)
全响应y = piecewise(0 < t, (9exp(-t))/4 - (3exp(-3t))/2 - (texp(-t))/2, t < 0, 2exp(-t) - exp(-3t))

(2)用lsim函数绘制单位冲激响应和零状态响应的波形：
2018a版MATLAB程序如下

clc
clear
a=[1,4,3]; b=[0,1,0]; 
sys=tf(b,a);
t=0:0.01:5;%求t在0到5之间时对应的响应值
impulse(sys,t) %绘制单位冲激响应波形
f=exp(-t);
figure;
lsim(sys,f,t)  %绘制输入信号和零状态响应的波形

结果：
单位冲激响应波形

零状态响应波形

(3)用频域方法求零状态响应：
2018a版MATLAB程序如下

clc
clear
syms t w  %定义符号对象
H = j*w/(-w^2+4*j*w+3)
f = str2sym('exp(-t)*heaviside(t)');
F = fourier(f)
Y = F*H
y = ifourier(Y,t,w)

结果：
F = 1/(1 + w1i)
H = (w1i)/(- w^2 + w4i + 3)
Y = (w1i)/((1 + w1i)(- w^2 + w4i + 3))
零状态响应为 y = -(wdirac(w)1i)/((- 1 + w1i)(- w^2 + w4i + 3))

2，下图所示的电路为最平坦幅度型二阶低通滤波器。试完成下列任务：
(1)试用MATLAB程序画出系统响应H(jω)=U2(jω)/U1(jω)的幅度响应及相频响应曲线，并与理论分析的结果进行比较：
2018a版MATLAB程序：

clc
clear
b=[0 0 1];                 %生成向量b
a=[2 2*sqrt(2) 2];             %生成向量a
[h,w]=freqs(b,a,100);        %求系统频响特性
h1=abs(h);                %求幅频响应
h2=angle(h);              %求相频响应
subplot(211);
plot(w,h1);
grid
xlabel('角频率(W)');
ylabel('幅度');
title('H(jw)的幅频特性');
subplot(212);
plot(w,h2*180/pi);
grid
xlabel('角频率(w)');
ylabel('相位(度)');
title('H(jw)的相频特性');

结果分析：
当ω从0开始增大时，该低通滤波器幅度从0.5降到0，截止频率为0.977；而φ从0°降到-180°，与理论分析结果一致。

频率响应曲线如图：

思考：
1.分析系统的频率响应和什么有关？与激励信号的具体形式有关吗？
系统的频率响应只与电路的系统结构和参数有关，与输入信号的具体形式无关，它反映的是系统的特性，只与系统本身有关
2.使用计算机分析连续系统，需要解决连续系统离散化的问题，怎样离散化？
控制器或被控对象的离散化是实现离散控制（或称计算机控制）的重要内容，被控对象常用零阶保持离散化方法，控制器常用离散化方法包括：数值积分法（前向差分、后向差分、双线性变换等）、输入响应不变法（阶跃、冲激响应不变法等）等。另外，Z变换、导数差分化等也是实现连续域到离散域的离散化方法。