置换群小结



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置换在ACM里貌似经常碰到，以前不会，一直瞎搞，做不出，最近学了下，感觉懂了点东西，但是还是很多不会做

poj 2369

最基础的题，给你一个排列p，求k，使得p^k=p

就是求最小循环节，然后n是1000，最多有1000！个排列，如果暴力跑也许会炸掉，所以就用置换的性质，先找出所有的循环，然后循环阶数的lcm就是答案了

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poj 1026

题意：给你一个长度为n的置换，然后给你m是下面做置换的次数，再给你个字符串，长度为n，空的地方用空格，然后求置换后的字符串

题解：先把每个循环找出来，然后对每个循环，只要做t=m%（循环的阶数）这些就行了，然后就在循环里面找当前这个数后t个是什么，然后代换就行，就是输入有点坑爹，调了好久，傻叉了

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poj 1721

题意：给你一个置换p，然后每次都对自己做平方运算，就是变成p^2，p^4这样，然后给你一个置换q，它是开头p做了m次这样的运算得到的，就是q=p^(2^m)，求p

题解：开头感觉无从下手，后来仔细一想，置换群是个封闭的运算，最多n！个置换，然后如果p是生成元，那么最后一个置换p^(n!)，所以可以直接暴力做，因为这个平方运算每次是p的2次幂，然后最多暴力跑lg（n!）次，所以直接暴力跑，找到循环节cnt，m%=cnt，然后m=cnt-m，把q跑m次就得到p了

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CodeForces 612E

题意：给你个置换p，然后做平方运算，得到置换q，题目给你q，问你能否找到p，要构造出来

题解：这题和上面题看着有点类似，但是这题数据量是100W，不能暴力跑了，会炸掉，而且这题值做了一次平方运算，如果暴力跑有点亏啊

所以要找到规律，首先是找到置换里面的所有循环，然后考察每个循环，如果是奇数循环，平方运算之后还是奇数循环，如果是偶数循环，平方之后就变成了两个循环，阶数是原来大循环的一半。

所以构造能否成功就是看这个q里面的偶数循环能否都匹配，如果能匹配的话就再开始构造，就是有点繁琐，要把所有的循环都用vector记录下来，然后奇数就在自己的循环里构造，偶数的话就两个循环一起构造一个大的，就OK了，写起来有点烦而已

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还学习了将一个排列变成有序的最小花费，也是用置换做，但是poj炸了，代码还没交，题目挺难的都，仍需练习

还得学习polya定理和burnside定理

poj 3270

题意：给你一个排列，然后让你交换到递增排列，交换X和Y的位置，花费就是X+Y，求变成递增序列的最小花费

题解：这题如果不懂置换群，肯定没法做，首先你希望每次交换都能把一个值放到正确的位置，然后你需要找一个最小的元素，每次都和其他元素交换使之到达正确位置，然后一开始觉得就是找排列里最小的元素，然而这样并不一定对。我们来慢慢分析

先找到排列里的所有置换，然后如果你找的小的元素在置换内，将一个有k个元素的置换变成有序，只要k-1次，话费就是置换内所有元素和加上（k-2）*mini（置换中最小的值），这样是在置换里变换的最小花费，但是这就是正解么，未必，有可能置换外面有个很小的值，通过它来变换能得到更小的花费。

所以可以找置换外的最小值a，然后将置换里最小的元素换出去，再和其他k-1个元素换位，最后再把最小的换进来，这样就是这种方法的最小花费，然后每次考虑一个置换，都这样比较一下两种方案就行了

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poj 3590

题意：给你一个n，问你长度为n的排列里面，通过置换变成自己，即 p^k=p，求最大的k

题意：这题看似简单，其实还是挺难的，k最大，即为排列里面各个置换的长度的lcm最大。

假设各个置换的长度为n1+n2+....+nk=n，然后lcm(n1,n2,....nk)最大，并且按照最小字典序输出

只要知道了各个置换的长度，最小字典序就是长度排个序从小到大输出了，难就难在怎么找置换的长度

后来发现，lcm可以分解，设质数为p1，p2,p3,....pk, lcm=p1^a1 *p2^a2 * ....*pk^ak，然后思考怎么求置换长度呢，如果你取了个长度为p1，那么还是得有长度为p1^a1的置换，这样就浪费了，这样对lcm的增加没有帮主，因为你如果把长度p1的置换换成p1个长度1的置换，字典序变小了，lcm不变

所以我们找到了方法，置换的长度就是p1^a1,p2^a2.....pk^ak，然后多余的都变成长度1的置换，这样是可以保证字典序最小，于是我们只需要用100以内的素数dfs一遍lcm就行了，然后找到最大的lcm，同时保证sum和最小，然后把lcm素数分解，就知道了长度，排个序，然后就能得到排列了

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poj 3128

题意：给你26个字母的排列q，问你能不能找到p，使p^2=q;

题解：这题和上面cf的一样啊，就是找一下每种偶数长度置换的个数是不是偶数就行了

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uva 11077

题意：问你一个长度n的排列，需要k次才能变换成有序排列的个数是多少个

题解：在一个长度为m的置换里，变成有序需要m-1次，然后需要k次，可以用递推来做

dp[i][j]表示1-i变成有序，需要j次的排列个数

dp[i][j]=dp[i-1][j]+d[i-1][j-1]*(i-1)，这是说明i要么自己成为一个循环，前面i-1个数字用了j次交换，要么就是i加入前面的置换里，和前面i-1个数中任意一个换一下位置，所以乘i-1，这样就多了一次交换

这题会爆long long，用unsigned long long

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下面来讲polya定理和burnside引理的题

uva 10294：

题意：给n个珠子，k个颜色，让你求项链和手镯的个数呗，这是最最简单的polya定理题，手镯是旋转翻转都认为一样，项链是只能旋转

题解：先考虑旋转，有n种旋转方法，每次转i格，i=0...n-1，求出gcd（i，n），这样求出来的是有多少个循环，然后就是sigma k^gcd(i,n)，

翻转考奇偶，都是n种置换，奇偶情况不同，简单题

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uva 10601

题意：这题貌似给你个立方体，然后给你12条边的颜色，让你考虑这种涂色方案有多少种不同的立方体

题解：立方体里的polya定理，需要考虑一些情况，然后用组合数求解

先打表12的所有组合数，每次求解的时候要把知道循环里有多少个元素，然后每种颜色按照循环个数的分组，如果有的颜色不能整除循环里元素的个数的话，那么这种情况就是0

先是不动置换，只有一种置换有12个循环，循环里有1个元素，然后就是12组，如果是1个1，11个2，考虑每种颜色，就是先C（12，1），再乘C(11,11);

然后是面心旋转，正负90度，有2*3=6种置换，循环里有4个元素，3组循环，然后如果是1个1，11个2，1就不能整除4，所以不行，如果是4个1，8个2，1就能涂满1组，2能涂满2组，然后就是C（3，1）*C（2，2）

面心旋转180度，有3种置换，循环里有2个元素，6组循环，一样处理

对角旋转正负120度，2*4=8种置换，每个循环里有3个元素，共4组

棱心旋转180度，有6种置换，循环组成是（1）^2 (2)^5，有两个1，5个2的循环，这怎么破呢，因为只有6种颜色，所以可以枚举那两个1循环的颜色，然后再考虑分成5个2循环的情况

每次考虑不同的置换情况都需要初始化颜色的数组，不然就很容易错哦，最后除以置换总数1+6+3+8+6=24

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uva 11255

题意：给你三种颜色的珠子的个数，然后问你能构成几种不同的项链，这次的项链旋转和翻转一样

题解：和上一题一样，先考虑旋转，然后颜色分组，每次都要初始化不要忘记，翻转的话就是奇偶讨论，就是扣掉两个单独的颜色就行了，最后除以2n

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poj 2154

题意：给你n个珠子，n种颜色，然后串成项链，项链旋转当成一样，结果模P

题意：这题一开始觉得就和正常做一样就行了，n非常大，所以枚举n不行，就要把n的因子都处理出来，这是循环的个数，然后变成求因子的涂色方案，再求gcd（n，i）=这个因子的种数，就是求n/这个因子的欧拉函数，但是就是答案各种不对，因为要模p，所以以为要乘以n的逆元，后来发现逆元必须要求n和p互素，GG了

然后看题解，因为这题给你的是n种颜色啊，所以前面的n的几次方，可以直接除掉n，然后次方-1，然后就不需要用到逆元了orz，数学推导过弱，然后还是会TLE，原来是欧拉函数求解太慢了，不能用大白上的模版，要先素数打表打出来，然后用素数求解欧拉函数orz，这题瞬间学到了3种知识。

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poj 2888

题意：给你n个珠子，m种颜色，k个限制条件，就是什么颜色不能和什么颜色放在一起，求手镯的个数，旋转认为是相同

题解：这题看着和前面的有点类似也是处理出来因子，然后欧拉函数搞，但是这题多个限制，所以不好做，要考虑长度为k的这段里面的珠子应该怎么放

考虑到m只有10，所以可以用矩阵快速幂来解决，如果两个颜色可以相邻，map[i][j]=1,否则为0，然后长度为k的一段，p^k就是走了从第一个珠子走了k步的意思，是走到了下一段长度k的第一个，所以两个颜色应该是一样的，所以只要所有的p^k[i][i]加起来就行了orz

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hdu 2865

题意：给你n珠子k个颜色，然后中间还有个大珠子，要求所有相邻的珠子颜色都不同，旋转认为相同，考虑方案数

题解：这题和前面的思路差不多，处理因子，欧拉函数，然后这题的限制是不能有相邻颜色一样，考虑也是递推

F（i）表示长度为i的这段循环里，最后一个和首位颜色不一样的方案数，开头k种颜色，1个给了中间的珠子，所以直接可以考虑每段循环里用的颜色k=k-1

F（1）=0；因为不管放啥，相邻颜色都一样，要注意

F（2）=k（k-1）

F（3）=k（k-1）（k-2）

F（4）=（k-2）F（3）+（k-1）F（2），前面一项表示3和首位颜色一样，后面一项表示3和首位颜色不一样

所以得到递推F（n）=（k-2）F（n-1）+（k-1）F（n-2），然后矩阵快速幂一下就好叻

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置换群和polya定理的学习暂时结束，以后碰到再好好研究把，燃