Root-Music方法进行频率估计

Root-Music算法是在Music算法的基础上提出的。

Music算法：利用信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，估计信号频率。

具体就是先对信号用矩阵形式表示出来，接着求解相关矩阵，并对其进行特征分解，得出有K个非零特征值，利用剩下的M-K个零特征值得出信号子空间与噪声子空间的正交性。而实际中，自相关矩阵R是估计出来的，因此特征向量本身也带有一定误差，因此最终的公式中有求和（平滑作用）。

Root-Music算法：直接构造函数，并将噪声子空间的向量写成矩阵G，最终将信号频率估计问题转化成了一元高次方程的求根问题。在实际求解时，需要在2（M-1）个根中，找出其中位置最接近单位元的K个根，其相位就是信号频率的估计值。

• FFT计算自相关函数：补零，FFT，计算功率谱，IFFT得II，然后截取前面m个值N个即为我们的信号自相关函数r(0),r(1)...r(N)
• 计算相关矩阵：构造M阶相关矩阵来说，对于复值信号来说II的最后M-1即为r(-7）~r(-1)，用fliplr()左右镜像为r(-1)~r(-7)，II的前M个即为r(0)~r(7)，然后就是用toeplitz来计算。。（网上看到好几个用xcorr直接计算相关系数，然后用toeplitz）

%% 计算自相关矩阵（计算时可用FFT计算）
u2=[u,zeros(1,N)];  %将u(n)进行扩展，补N个零
U2=fft(u2);
P=abs(U2).^2/N; %计算功率谱
r2=ifft(P);
r=r2(1:M);%取前M个值 
rc=r2(2*N-M+2:2*N);%取出r(-M+1):r(-1)
rc=[rc,r(1)];%r(-M+1):r(0)
rc=fliplr(rc);%首尾颠倒
Rxx=toeplitz(r,rc)';

• 对相关矩阵进行特征值分解：因为上面求出的相关矩阵是一个复数类型，matlab调用eig求解后特征值为复数类型（相关矩阵的特征值为非负实数，看了下里面的数都是虚部为0i，然而matlab却还是认为是复数），难道每次都要对特征值取abs吗？      QAQ
• 得到M-K个特征子空间，即对特征值进行排列，取出最小的M-K个特征值和特征向量。（eigs可解决？）

  if ~issorted(diag(D)) [V,D] = eig(A); [D,I] = sort(diag(D)); V = V(:, I) 

• 接下来我在想如何把方程写出来，因为这是一个矩阵G，因此变量也得表示成一个向量。。

  syms z
  az = z.^([0:M-1]');

• 最后对整个表达式进行系数提取（注意的是如果直接提取会报错sym2poly输入非多项式，因为这是含有z的负数次幂，因此可等价转化乘以最低次），并求解，求出来是复数解，找出其中最接近单位圆的K个根（最接近单位圆可能有很多根，最后选的时候稍微隔开几个），这些根的相位angle函数就是信号频率的估计。

  fz = z.^(M-1)*pz1*G*G'*pz;
  % fz=aN*G*G'*aP';如果是这个，在下一步会报错说不是多项式，因为含有z的负数次幂
  factor=sym2poly(fz);
  zx=roots(factor);
  rx=zx.';
  [as,ad]=(sort(abs((abs(rx)-1))));
  frequency=angle(rx(ad([1,3])))./pi